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补充 连分数 巫玲 Wuling751@126.com 学习目标 掌握连分数的表示形式 了解连分数的价值与应用领域 课程内容的设置 什么是连分数 连分数的表示方法 连分数的应用 1 什么是连分数 连分数的样子 注意： 最长的分数线与等号水平对齐 上述这一全由1构成的连分数，是最简单的一个连分数。1也可以换成其他数，也不一定全相同 1 什么是连分数 上述连分数可以看作是 中，把 的表达式反复代入等号右端得到的；例如，第一次代入得到的是 反复迭代，就得到上述连分数。 1 什么是连分数 连分数的来源： 任意一个无理数能否写成一个分数的形式 问题 : 求解x2-3x-1=0 配方解得x=(3±√13)/2 该解写成分数？ x2 = 3x+1 继续带入： 即连分数 2 连分数最大的价值 连分数的最大价值 逼近求解 如果把一个连分数从第n条分数线截住，即把第 n条分数线上、下的部分都删去，就得到该连 分数的第n次近似值，记作 迭代求解 2 连分数最大的价值 x2-3x-1=0 精确的一个解为(3±√13)/2≈3.30277563773 连分数对应解为 依次得到方程的近似解：越往后越精确 3 3.3 …… 3.333 3.303 …… 类似割圆求π： 如何程序求解？ 连分数的最大价值 Eculid 连分数 3 连分数的表示 很不方便 通常记为 [ ] 如 上式记为[3，3，3…] 记为[1，2，2] 一般而言 ，一个有限连分数表示一个有理数，一个无限连分数表示一个无理数 练习 求连分数[-3，1，1/2，2，1/3，3]的值 方法：从后向前，后一项取倒加入前一项 原式= [-3，1，1/2，2，1/3+1/3] = [-3，1，1/2，2+3/2] = [-3，1，1/2+2/7] = [-3，1+14/11] = [-3+11/25] =-64/25 练习 将233/112表示为简单连分数 方法：不断分离成整数加小数，小数取倒 233/112=[2+9/112]=[2，112/9] =[2，12+4/9]=[2，12，9/4] =[2，12，2+1/4] =[2，12，2，4] 练习 一道经典题目： 3水手在岛上采集了一些椰子后天黑了，晚上一水手醒来把椰子平分成3堆后扔掉了多余的一个并藏起了属于自己的一份，其他水手夜里都这样如此了一番，天亮后大家正好将剩余的椰子平分，问当初这堆椰子至少有多少个？ 程序如何实现？人数为n 4 特殊的连分数 的近似值逐次为 分子分母斐波那契(Fibonacci)数列 序列正在逼近（极限是）黄金分割 4 特殊的连分数 若一个数列，前两项等于1，而从第三项起，每一项是其前两项之和，则称该数列为斐波那契数列。数列中的任一个数，都叫斐波那契数。即： 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , … … 来源于兔子问题： 假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每月会生一对兔子，那么，由一对初生兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？ 4 特殊的连分数 斐波那契数是大自然的一个基本模式，它出现在许多场合。 如大多数植物的花瓣数都恰是斐波那契数 4 特殊的连分数 向日葵、松果种子 菜花的螺线数（5-8） 4 特殊的连分数 埃及的金字塔，高（137米）与底边长（227米）之比为0.629 古希腊的巴特农神殿，塔高与工作厅高之比为340∶553≈0.615 国旗 华罗庚的优选法 最优办法不是二分 而是0.618分 4 特殊的连分数 黄金矩形 一个矩形，如果从中裁去一个最大的正方形，剩下的矩形的宽与长之比，与原矩形的一样（即剩下的矩形与原矩形相似），则称具有这种宽与长之比的矩形为黄金矩形。 黄金矩形可以用上述方法无限地分割下去。 4 特殊的连分数 黄金矩形 4