14. 2013年全国高中数学联赛黑龙江预赛.docxVIP

预赛试题集锦（2014） 高中竞赛 预赛试题集锦（2014） 高中竞赛 PAGE \* MERGEFORMAT8 思维的发掘 能力的飞跃 PAGE \* MERGEFORMAT9 思维的发掘 能力的飞跃 2013年全国高中数学联赛黑龙江省预赛 一．选择题（每小题5分，共60分） 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）． （A） （B） （C） （D） M N 为虚数单位，则（ ）． （A） （B） （C） （D） 命题“所有实数的平方都是正数”的否定为（ ）． （A）所有实数的平方都不是正数 （B）有的实数的平方是正数 （C）至少有一个实数的平方不是正数 （D）至少有一个实数的平方是正数 直线过抛物线的焦点且与轴垂直，则与所围成的图形的面积等于（ ）． （A） （B）2 （C） （D） QUOTE  将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为（ ）． （A）24 （B）30 （C）36 （D）81 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ ）． （A） （B） （C） （D） 2 2 1 3 正视图 2 2 1 侧视图 2 2 俯视图 开始 输入X n=1  QUOTE  X=2x+1 n=n+1 是 否 输出x 结束 已知实数[1，9]，执行如右图所示的流程图， 则输出的不小于55的概率为（ ）． （A） （B） （C） （D） 定义在上的函数在上是增函数， 且的图像关于轴对称，则（ ）． （A） （B） （C） （D） 化简（ ）． （A） （B） （C） （D） 设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，为坐标原点，且 QUOTE ，则该双曲线的离心率为（ ）．（A） （B） （C） （D） 在直三棱柱中，，．已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点）．若，则线段的长度的取值范围为（ ）． （A） （B） （C） （D） 已知正项等比数列满足，若存在两项、使得，则的最小值为（ ）． （A） （B） （C） （D） 二．填空题（每小题5分，共20分） 已知变量，满足约束条件则取值范围是_______． 设是定义在上的奇函数，且当时，．若对任意的，不等式恒成立，则实数取值范围是_______． 已知，，，点在内，且，设，则_______． 若正方形的一条边在直线上，另外两个顶点在抛物线上，则该正方形面积的最小值为_______． 三．填空题（共6小题，共70分） （10分）已知函数．（1）当时，求函数的最小值和最大值；（2）设的内角的对应边分别为，且，，若向量与向量共线，求的值． （12分）如图，在正中，点分别在边上，且，，相交于点．（1）求证：四点共圆；（2）若正的边长为2，求所在圆的半径． A B C E D F （12分）一个口袋中有2个白球和个红球（），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．（1）试用含的代数式表示一次摸球中奖的概率P；（2）若，求三次摸球恰有一次中奖的概率；（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为，当为何值时，取最大值． （12分）数列的前项和为，满足，其中且 QUOTE ．（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的公比为，数列满足，求的通项式；（3）记． （12分）已知、，圆，一动圆在轴右侧与轴相切，同时与圆相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线，曲线是以为焦点的椭圆．（1）求曲线的方程；（2）设曲线与曲线相交于第一象限点，且 ，求曲线的标准方程；（3）在（1）、（2）的条件下，直线与椭圆相交于两点，若的中点在曲线上，求直线的斜率的取值范围． （12分）设．（1）判断函数的单调性；（2）是否存在实数，使得关于的不等式在上恒成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，试说明理由；（3）求证（其中为自然对数的底数）． 解答 1．D 2．A 3．C 4．C 5．B 6．A 7．C 8．A 9．B 10．B 11．A 12．D 13． 14． 15． 3 16．80 17． 因为，所以 所以，从而 则，的最小值是 ，最大值是． （2） ，则 因为 ，所以  QUOTE ，所以，解得 因为向量与向量共线，所以，由正弦定理得， 由余弦