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第4章 离散傅里叶变换（DFT） Discrete Fourier Transform 引言 对一个序列长度未加以任何限制，则一个序列可分为： （1）无限长序列： n=-∞~∞或n=0~∞或n=-∞~ 0 （2）有限长序列： 0≤n≤N-1 有限长序列在数字信号处理是很重要的一种序列。由于计算机容量的限制，只能对过程进行逐段分析。 由于有限长序列，引入DFT(离散付里叶变换)。 DFT它是反映了“有限长”这一特点的一种有用工具。 DFT变换除了作为有限长序列的一种付里叶表示，在理论上重要之外，而且由于存在着计算机DFT的有效快速算法--FFT,因而使离散付里叶变换(DFT)得以实现，它使DFT在各种数字信号处理的算法中起着核心的作用。 1.傅里叶变换的几种形式 傅 里 叶 变 换 ： 建立以时间为自变量的 “ 信号 ” 以频率为自变量的 “频谱” 函数. “ 时 间 ” 或 “ 频 率 ” 取 连 续 还 是 离 散 值 , 就形成各种不同形式的傅里叶变换对 。 存在四种不同形式的傅里叶变换对 四种不同傅里叶变换对 （1）傅里叶变换(FT)： 连续时间,连续频率的傅里叶变换 （2）傅里叶级数(FS)： 连续时间 , 离散频率的傅里叶变换 （3）序列的傅里叶变换(DTFT)： 离散时间,连续频率的傅里叶变换 （4）离散傅里叶变换(DFT)： 离散时间,离散频率的傅里叶变换 假定数字频率为w,模拟频率为?。 一、 非周期连续时间信号的傅里叶变换 非周期连续时间信号通过连续付里叶变换(FT) 得到非周期连续频谱密度函数。 以下变换对可以看出 （1）时域 连 续 函 数 造成频域是非周期的谱 , （2）时域的非周期造成频域是连续的谱 . 二、周期连续时间信号的傅里叶变换 周期连续时间信号 ?? 非周期离散频谱密度函数。 周期为Tp的周期性连续时间函数 xa(t)可展成傅里叶级数X(mΩ) ,是离散非周期性频谱 , 表 示为: 通过以下变换对可以看出 （1）时域的连续函数造成频域是非周期的频谱函数 （2）频域的离散频谱与时域的周期时间函数对应 (频域采样，时域周期延拓) 三、非周期离散信号的傅里叶变换 非周期离散的时间信号得到周期性连续的频率函数。 （1）时域的离散造成频域的周期延拓 , （2）时域的非周期对应于频域的连续 . 四、周期离散信号的傅里叶变换 上面讨论的三种傅里叶变换对,都不适用在计算机上运算 , 因为至少在一个域 ( 时 域 或 频 域 ) 中 , 函数是连续的。因为从数字计算角度,我们 感兴趣的是时域及频域都是离散的情况,这就是 我们这里要谈到的离散傅里叶变换 . 周期性离散时间信号从上可以推断： （1）周期性时间信号可以产生频谱是离散的 （2）离散时间信号可以产生频谱是周期性的。 得出其频谱为周期性离散的。也即我们所希望的。 一个域的离散必然造成另一个域的周期延拓。 四种付里叶变换形式的归纳 2.离散付里叶级数(DFS) 周期性序列的离散傅里叶级数(DFS) 有限长序列的离散傅里叶变换(DFT). 由DFS引出DFT的定义 有限长序列的傅里叶变换称为离散傅里叶变换，简写为DFT。 DFT可以按3个步骤由 DFS推导出来： ①将有限长序列延拓成周期序列； ②求周期序列的DFS； ③从DFS中取出一个周期便得到有限长 序列的DFT。 DFS定义 设 为周 期 为 N 的 周 期 序 列 , 则 其 离 散 傅 里 叶 级 数 (DFS) 变 换 对 为 : 正 变 换 反变换 其中: DFS离散付里级数的推导意义 (1)用数字计算机对信号进行频谱分析时，要求信号必须以离散值作为输入，而且上面讨论可知：只有第四种形式(DFS)对数字信号处理有实用价值。 (2)如果将前三种形式要么在时域上采样，要么在频域上采样，变成离散函数，就可以在计算机上应用。所以我们要先了解如何从以上三种形式推出DFS. 由非周期连续时间信号推出DFS x(t)经过抽样为x(nT),对离散的时间信号进行DTFT得到周期连续频谱密度函数。再经过抽样，得到周期性离散频谱密度函数即为DFS. 周期性连续时间信号函数 周期性连续时间信号函数经采样后，得到周期性的离散时间函数(DFS)。 非周期离散时间信号 非周期离散时间信号经过序列傅里时变换(即单位园上的Z变换)DTFT,得到周期连续谱密度函数，再经采样为周期离散频谱密度函数(DFS)。 推导DFS正变换 由第三种傅里叶级数形式为