几何探究之旋转2.docVIP

专题训练---几何探究之旋转2 例1．如图，△ABC和△EF绕点A旋转，且△ABC∽△EF，点P、M、N分别为中点，设∠BAC = α. ①如图⑴，若AB = AC，且∠α = 90°时，则PM与PN的数量关系是 ；∠MPN = .如图⑵，若AB = AC，且∠α = 30°时，则PM与PN的数量关系是 ；∠MPN = . ②如图⑶，若∠ACB = 90°，且∠α = 30°时，P，则PM与PN的数量关系是 ；∠MPN = . ③如图⑷，若∠ACB = 90°，且∠α = 30°时，P，则PM与PN的数量关系是 ；∠MPN = . 请你在②③中任意选取一个进行证明. 例2．已知等腰△ABC和等腰△DCE，AB=AC，DC=DE，，∠ACB=∠DCE，P、M、N分别为AD、BC、CE的中点，连结PM、PN. ⑴①如图1，B、C、D在同一条直线上，∠ACB=45°，则∠MPN= ； ②如图2，B、C、D在同一条直线上，∠ACB=60°，则∠MPN= ； ③如图3，B、C、D在同一条直线上，∠ACB=α°， 则∠MPN= ； ⑵如图4，将△DCE绕C点旋转180°，使得D在BC的延长线上，其它条件不变， 若∠ACB=α°，则∠MPN与α°之间是否存在确定的数量关系？请证明你的结论。 图1 图2 图3 图4 例3. 如图1, 操作: 把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上 (CG＞BC), 取线段AE的中点M. (1) 探究: 线段MD、MF的关系, 并加以证明. 说明: ①如果你经历反复探索, 没有找到解决问题的方法, 请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步); ②在你经历说明(1)的过程后, 可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件, 完成你的证明. ①DM的延长线交CE于点N, 且AD＝NE; ②将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°(如图2), 其他条件不变; ③在②的条件下, 且CF=2AD. (2) 将正方形CGEF绕点C顺时针旋转任意角度后(如图3), 其他条件不变. 探究: 线段MD、MF的关系, 并加以证明. 图1 图2 图3 练习 1、（1）已知△ABC中，D、E分别在BC、AB上，且∠ACB＝∠DEB＝90°，当M为AD的中点，连CM、EM． ①如图1，若∠ABC＝45°，则MC＝ME，∠CME＝90°； ②如图2，若∠ABC＝30°，则MC与ME的数量关系为 ，∠CME＝ （2）将图2中的△DEB绕点B逆时针旋转30°得到图3，请探究MC与ME的数量关系和∠CME的大小并给予证明。 （3）如图4，在△ABC和△BDE中，∠ACB＝∠DEB＝90°，∠ABC＝∠DBE＝α，点M仍为AD的中点，现将△BDE绕点B逆时针旋转β（0°＜β＜90°），请探究MC与ME的数量关系和∠CME的大小，并给予证明。 图1 图2 图3 图4 2、如图1,把两个等腰直角三角形底边共线的放在一起,且一个顶点重合,M、N、P分别是CE、AB、DF的中点;如图2将它们的一条直角边重合,且一直角顶点与锐角顶点重合. (1).在图1中,线段MN与MP的关系是 ;在图2中,线段MN与MP的关系是 . (2)如图3和4,将△DEF绕D点任意旋转一个角度,请进一步猜想线段MN与MP的关系,并选择其中一种给出证明. (3),如图5,将上面等腰直角三角形换成一般的等腰三角形,若此种等腰三角形的腰长与底边长的的比值为1:2,试写出此时线段MN与MP的关系,不需要说明理由. 图1 图2 图3 图4 图5 3．已知Rt△ABC和Rt△ADE，∠ACB=∠AED=90°，∠BAC=∠DAE=30°，P为线段BD的中点，连接PC，PE. （1）如图1，若AC=AE，C、A、E依次在同一条直线上，则∠CPE= ；PC与PE存在的等量关系是