第六章-用有限单元法解解平面问题PPT.ppt

用有限单元法解平面问题 ·数值方法 §6-1 基本量及基本方程的矩阵表示 工程中大多数问题, 荷载及边界条件都十分复杂, 难以求出函数式解答, 只能通过数值方法求解. 常用的数值方法有差分法、变分法、有限元法、边界元法. ·数值方法 §6-1 基本量及基本方程的矩阵表示 数值方法是近似方法, 通过将微积分转化为四则运算,微分方程变为代数方程, 降低求解难度. 0 3 1 h 差分法 一个连续的函数被打散成若干结点值 ·与解析法比较 §6-1 基本量及基本方程的矩阵表示 * 可求解复杂问题(优点); * 解答是数值, 不是函数, 不能推导出公式, 不便于工程求解; * 解答是近似的, 不是精确的; * 解析解是唯一的, 数值解不唯一(与网格疏密等因素有关) ; * 数值解计算量大, 依赖于计算机和算法的发展. * 具有通用性(优点); ·有限元法(Finite Element Method) §6-1 基本量及基本方程的矩阵表示 简称FEM, 是偏微分方程的数值近似解法, 求解能力最强. 首先将连续体变换为离散化结构, 然后再利用分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解. ·FEM特点 (1) 具有通用性和灵活性; (2) 对同一类问题, 可以编制出通用程序, 应用计算机进行计算; (3) 只要适当加密网格，就可以达到工程要求的精度. · 基本量矩阵表示 §6-1 基本量及基本方程的矩阵表示 体力: 位移: 应变: 应力: 面力: · 基本方程矩阵表示 §6-1 基本量及基本方程的矩阵表示 几何方程: 物理方程: 简写 D为弹性矩阵, 平面应力问题: 平面应变问题 · 虚功原理 §6-1 基本量及基本方程的矩阵表示 弹性体在发生虚位移的过程中, 外力对虚位移所做的功, 等于虚应力在虚应变上所做的虚功. 外力虚功 = 虚变形能 f f x y O 虚功原理可建立任意弹性体整体的外力与位移、内力关系. · 虚功原理 §6-1 基本量及基本方程的矩阵表示 f f x y O 虚位移: 虚应变: 虚功方程(函数形式) : · 虚功原理 §6-1 基本量及基本方程的矩阵表示 虚功(结点值形式) : 在有限单元法中, 作用于弹性体的各种外力常以作用于某些点的集中力代替. 集中力: 虚位移: 虚功方程(结点值形式) : ·有限单元法 §6-2 有限单元法的概念 将连续体离散成有限个单元, 然后再用结构力学的整体方法求解. ·分析过程 3.整体分析. 1.将连续体变换为离散化结构; 2.单元分析; 1.结构离散化 §6-2 有限单元法的概念 将连续体变换为离散化结构; 深梁 将连续体划分为有限多个、有限大小的单元, 并使这些单元仅在一些结点处用铰连结起来,构成离散化结构. 深梁 (离散后) 1.结构离散化 §6-2 有限单元法的概念 §6-2 有限单元法的概念 与结构力学桁架的区别: 桁架 结构力学研究对象是杆系结构, 弹性力学研究对象是连续体; 结构力学单元是杆件, 弹性力学单元是多边形块体; 桁架各单元(杆件) 之间除结点铰结外, 没有其他联系. 深梁 (离散后) 空 实 1.结构离散化 §6-2 有限单元法的概念 单元类型: 三节点三角形单元 六节点三角形单元 四节点四边形单元 八节点四边形单元 * 平面问题中, 常采用三角形和四边形单元; * 三角形单元对复杂形状物体拟合性好(网格算法简单), 四边形单元计算精度高; * 单元形状可以任意, 单元结点数越多,精度越高; * 三角形和四边形单元可以混合使用. 1.结构离散化 §6-2 有限单元法的概念 2.单元分析 每个三角形单元仍然假定为连续的、均匀的、各向同性的完全弹性体. 因单元内部仍是连续体. 应按弹性力学方法进行分析. (1) 以单元结点位移为基本未知量 位移法 结点位移列阵 已知结点位移，如何求单元内任意点位移？ §6-2 有限单元法的概念 2.单元分析 (2) 对位移函数进行插值 插值公式以结点位移值组成的函数, 代替原位移函数, 也就是对位移函数做近似处理. 插值公式称为位移模式, 插值函数称为形函数, N称为形函数矩阵. §6-2 有限单元法的概念 2.单元分析 (3) 由几何方程求单元应变 B: 应变与位移关系矩阵 (4) 由物理方程求单元应力 S: 应力转换矩阵 §6-2 有限单元法的概念 2.单元分析 (5) 由虚功方程, 由应力求单元结点 力 结点对单元的作用力, 作用于单元, 称为结点力, 以正方向为正. 单元对结点的作用力, 与Fi 数值相同,方向相反. §6-2 有限单元法的概念 2.单元分析 单元结点力: 由虚功方程求结点力: k: 单元刚度矩阵 结点力与