上海交通大学计算方法课件(宋宝瑞)ch.7.docVIP

第七章 数值积分 问题：求 Newton－Leibnitz公式，原函数不易求得， 特别当列表函数时更是如此。 ，其中 注意，这是一个构造性定义。寻求更有效的求I（或其近似值）的方法 用近似函数代积分 多方面的原因一般 ：的插值多项式 等距节点求积公式 将区间[a,b] n等分，分点为， , 设 利用 Lagrange 插值公式 以代 得 其中 注意 与 无关，具有一般性，称为Cotes系数 ——Newton-Gotes公式。 特别的： 梯形公式： Simpson (抛物形)公式： Gotes公式： 由于对 是的计算值，用计算机算得，可以认为从而Newton-Gotes公式的理论值和实际计算值之差： 若，则有 ， 方法是稳定的。如果假设不成立，则函数值的计算误差可能积累，方法不稳定。因为这个原因Newton-Gotes公式只能用于n8的场合。 一般求积公式：（机械求积公式） （1） 系数不依赖于被积函数f. 若（1）式对精确成立，对不能精确成立，称公式（1）有n次代数精确度。（一般认为越高越好） 由多项式插值理论知n阶N-C公式的代数精确度至少是n次的，可证当n=2k时，其代数精确度至少为2k+1次。 如果（1）式中的 ，为Lagrange插值基，则称（1）为插值型的。 定理：（1）至少有n次代数精度 （1）是插值型的。 例：Simpson公式的代数精度为3次。 因为已知Simpson公式的代数精度至少为3次，而 梯形公式的误差 设： 误差 Simpson公式的误差 三次代数精度，构造， 使 由于Simpson公式有3次代数精确度，所以 =S Hermite插值余项（用差商表示） 复化公式及误差分析 由上述误差表达式可知，区间越小，绝对误差越小，复化梯形公式： 将积分区间n等分，节点是 与的关系 记 记 复化Simpson公式 与 易验证： 又： 消去得 复化公式误差分析 ： 若 则，使 （平均值） 类似的， 实际上，当可积，是一个Riemann和数。 当时， 均收敛于。 稳定性，如果计算有误差，记 引起的误差小于 稳定的。 当f 的光滑性达不到2阶时，不一定成立，但是我们有： 所以只要可积，就有 例： 复化梯形公式余项的精确化 Euler-Maclaurin公式 ， Romberg积分法 令 则可以把写成，写成….当被积函数f 确定时，Euler-Maclaurin公式可写成： 其中为一些常数。 在中，以代h，得： 记 ， 是比 更好的近似，对比前面我们得到的与的关系，可知实际上就是。 类似地，我们可进一步写出： 更好 ，还可做 如此我们得到Romberg积分法程序： 取整数 （等分区间） （平分区间） 停止 输出。否则转（3） 排成一个表 注意，Romberg积分中的加速收敛是以余项（）为基础的，若（）不成立，则不能用。 例如：，因在不存在，不可以用Romberg积分加速 但 ———————————————————————— f(x)= T0=0.877037 k=1,n=4,h=0.5,Tk=0.880619,Tkk=0.881812 k=2,n=8,h=0.25,Tk=0.881704,Tkk=0.882082 k=3,n=16,h=0.125,Tk=0.881986,Tkk=0.882081 k=4,n=32,h=0.0625,Tk=0.882058,Tkk=0.882081 I=0.882081 T0=0.683013 k=1,n=4,h=0.25,Tk=0.748927,Tkk=0.770899 k=2,n=8,h=0.125,Tk=0.772455,Tkk=0.780924 k=3,n=16,h=0.0625,Tk=0.780813,Tkk=0.783866 k=4,n=32,h=0.03125,Tk=0.783776,Tkk=0.784861 k=5,n=64,h=0.015625,Tk=0.784824,Tkk=0.785209 k=6,n=128,h=0.0078125,Tk=0.785195,Tkk=0.785331 k=7,n=256,h=0Tk=0.785326,Tkk=0.785374 k=8,n=512,h=0.0019