第9章2 振动学基础2.ppt

* * 简谐运动的合成图 两相互垂直同频率不同相位差 9.3.2 相互垂直的两个简谐振动的合成 * * * * 两相互垂直不同频率的简谐运动的合成 * * 李 萨 如 图 * * 1.一个质点同时参与两个同方向、同频率的谐振动，它们的振动方程分别为 试用旋转矢量求出合振动方程. 9.3.3 例题分析 * * 解 根据振动方程画出它们的旋转矢量图如下图所示. 因此合振动方程为 * * 作 业 9－18，9－19 * * （3分）已知一质点沿y轴作简谐运动，其振动方程为 y = Acos(ωt + 3π/4)。与之对应的振动曲线是： [B] * * (3分)一个质点作简谐振动，振幅为A，在起始时刻质点的位移为A/2，且向x轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为 [C] * * 已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒。则此简谐振动的振动方程为： x (cm) t (s) O -1 -2 1 ． [C] * * （2分）两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式 分别为： x1=6×10－2cos(5t+ π/2) ，x2=2×10－2sin(π－5t） 它们的合振动的振幅为 4×10－2 。 第二个振动的振动方程 可以写为： x O 两个振动在t=0时刻的 旋转矢量图为 * * （10分）某质点作简谐振动，周期为2s，振幅为0.06m， t=0时刻质点恰好处于负向最大位移处，求： （1）该质点的振动方程； （2）此振动以波速u=2m/s沿x轴正向传播时，形成的一 维简谐波的波动方程。（以该质点的平衡位置为坐标原点） （3）该波的波长。 解： * * 例：如图所示，轻质弹簧的一端固定，另一端系一轻绳，轻绳绕过滑轮连接一质量为m的物体，绳在轮上不打滑，使物体上下自由振动。已知弹簧的劲度系数为k，滑轮的半径为R，转动惯量为J。 （1）证明物体作简谐振动； （2）求物体的振动周期； （3）设t=0时，弹簧无伸缩，物体也无初速，写出物体的振动表式。 * * 解：取平衡位置为坐标原点。设系统处于平衡位置时，弹簧的伸长为l0 ，则 （1）物体处于任意位置x时，速度为?，加速度为a。分别写出弹簧、物体和滑轮的动力学方程 由以上四式，得 ，即： 可见物体作简谐振动。 T1 T2 T2 T1 mg * * （2）其角频率和周期分别为： 3）由初始条件，x0=Acos?0= -l，?0=-A?sin?0=0，得 简谐振动的表达式为 * 简谐振动除了用运动学方程（振动方程）和位移时间曲线（振动曲线）来表示以外，还可以用旋转矢量表示. 这种几何图示法可以帮助我们形象直观理解简谐振动中的三要素. * * * * 9.2.4 简谐振动的旋转矢量表示 旋转矢量法： 简洁、直观、方便 常用的方法 除了用运动学方程（振动方程）和位移时间曲线（振动曲线）来表示以外，还可以用旋转矢量表示. * * A - A O O T * A - A 用旋转矢量图画简谐运动的 图 （旋转矢量旋转一周所需的时间） * * * * * * * * 旋转矢量 * * 旋转矢量在x 轴上的投影坐标作简谐振动。 * * j A v y x w t+j M O 以旋转矢量在x轴上投影 x=Acos(? t+? )代表谐振动 矢量端点在半径为A的圆周上以圆频率ω做匀速圆周运动 圆周运动速率 vm= ? A 投影v = - vm sin(? t+? ) 圆运动向心加速度an= ?2 A 投影a=- ancos(? t+? ) = - ?2 A cos(? t+? ) x vm v an= ?2 A * * 简谐振动旋转矢量表示法的应用 应用: 1)可以方便地确定初相位φ和任意时刻的相位 x P x φ2 φ1 * * ?? =(? t+? 2)-(? t+? 1) =? 2 - ? 1 x1 = A1 cos(? t + ?1) x2 = A2 cos(? t + ?2) 相位差： 2）对于两个同频率的简谐运动，旋转矢量图可明显的表示出相位差，显示它们间步调上的差异. * * o x x ? ?A ? B x(t)=Acos(? t+?) 由图一般可知振幅A，周期T ，初始位置x0和初始速度v0的正负。 简谐振动的描述方法 1. 解析法即运动方程法 2. 曲线法（振动曲线） o A -A t x T 3. 旋转矢量法 v00 V00 由图一般可知振幅A，初始位置x0和初始速度v0的正负。 * * 例9-3. 一个作简谐振动的弹簧振子历时四分之一周期，先后通过相对于平衡位置为对称的B,C 两点，设简谐振动的振幅为A，试确定B,C 两点