第6章 多自由度系统 6.11-6.14.ppt

第6章 多自由度系统（四） * 6.11 展开定理 由于正交性，各个特征向量是线性独立的①，因此它们构成了n 维空间的一个基。这意味着n 维空间中的任意向量都可以表示为这n 个线性独立向量的线性组合。若x 是n 维空间中的任意一个向量，则其可表示为 两边左乘以 Mii 是第n 阶主振型对应的广义质量。若根据式(6.8 1)，对振型向量X (i)正则化，则 ci 为 6.12 无约束系统 无约束系统是不包含约束或支承，能像刚体一样运动的系统。在工程实际中，不与任何固定框架相连的系统并不少见 这样的系统具有实现类似于刚体运动的能力，这样的运 动可看成是与零固有频率对应的振型。 根据定义，功能总为正，所以质量矩阵m 是正定的。然而，对于无约束系统，在位移矢量x 不为零的情况下，势能V 却可能为零，故刚度矩阵k 是半正定的。 为说明这一点，考虑用正则坐标表示的自由振动方程 若系统作刚性平动，并不是所有的分量 都为零，即矢量 不为零。因此，为满足上式，k 的行列式必为零。于是非约束系统(有零固有频率)的刚度矩阵是奇异的。 称为系统的零振型或刚体振型 系统的势能为 把任意矢量（ 和零矢量除外）代入式(6.30). 系统的 势能都是一个正数。因而刚度矩阵k 是半正定的，这正是一个非约束系统称为半正定系统的原因。 例6.13 如图6. 13 所示， 3 节车厢通过2 个弹簧相连。已知 m1 =m2 =m3 =m ， k1=k2=k。求该系统的固有频率与固有振型. 6.13 无阻尼系统的自由振动 以矩阵形式表示的无阻尼系统自由振动的微分方程为 解得一般形式： 例6.14 求图6.8(a) 所示弹簧-质量系统的自由振动响应。已知初始条件为 解:在例6. 10 中巳求得系统的固有频率与振型分别为 6.14 用模态分析法求无阻尼系统的强迫振动 当有外力作用于多自由度系统时，系统将作强迫振动。对具有n 个坐标或自由度的系统，运动控制方程为n 个耦合的二阶常微分方程。 当作用力是非周期的和(或)系统的自由度数较大时，这些方程的求解非常复杂。在这些情况下，可以利用较简便的方法即振型叠加法进行求解。该方法运用到了展开定理，即将各质量的位移表示为系统固有振型的线性组合。 通过该转换，可使运动微分方程变为非藕合的，即可以得到n个非藕合的二阶常微分方程。这些方程的解可以等效为易于求解的n 个单自由度系统方程的解。 在外力作用下的多自由度系统的运动微分方程为 利用振型叠加法解方程时，首先必须求解特征值问题 根据展开定理： 是依赖于时间的广义坐标，称为主坐标或振型参与系数 振型矩阵 若已将固有振型正则化， 广义力 代入方程 左乘： 广义坐标方程 上式表示以下n 个二阶非藕合微分方程: 初始条件: 方程的一般解: 例6.15 利用振型叠加法，求下列运动微分方程表示的二自由度系统的自由振动响应: 已知： 初始条件： 解: 系统的固有频率与固有振型为(见例5.3) 通过将固有振型关于质量矩阵正则化， 正则振型矩阵为 利用 标量形式 解为 初始条件 可得 位移 *