中子输运方程误差估计及自适应计算精选.pdfVIP

2015年 8月 计 算 数 学 第37卷第 3期 Aug．，2015 MATHEMATICA NUMERICA SINICA Vo1．37，No．3 中子输运方程误差估计及 自适应计算q) 刘会坡 (北京应用物理与计算数学研究所计算物理实验室，北京100094) 摘 要 本文研究了全离散方法求解二维中子输运方程的有限元 自适应算法，角度变量用离散纵坐标 方法展开，空间变量用间断元方法求解．基于间断元方法给出了空间离散的残量型后验误差估计． 在后验误差估计的基础上，我们设计了自适应有限元算法．由残量型后验估计可以给出局部加密 网格的自适应算法．最后，我们给出了数值算例来验证我们的理论结果． 关键词：中子输运；间断有限元；后验估计；自适应算法 MR (2000)主题分类：65N30 1．引 言 近年来发展的自适应有限元算法被大量理论和计算实践证明可以大大提高计算效率，在 专著 [2，12】中总结了自适应算法的理论基础．对于椭圆和抛物方程 自适应算法的研究已经比 较成熟，通过可靠的后验估计量指导网格加密，可以减少计算量提高计算精度． 然而应用 白适应算法计算复杂的输运方程的研究还不是很多．由于输运方程的计算量 比 一 般的椭圆和抛物方程要大得多，所以更能体现出自适应计算的优点．但是由输运方程角度 离散后得到的双 曲方程组的性质没有一般 的椭 圆和抛物方程的好，例ta：双 曲方程的解的光 滑性很差．因此研究中子输运方程的自适应计算有重要的理论意义和实用价值．在文献 4【—7】 研究了典型中子输运方程的计算方法和先验误差估计，本文研究二维直角坐标系输运方程的 近似后验误差估计和 自适应算法． 2．中子输运方程全离散间断有限元后验误差估计 我们考虑下面的单群中子输运方程，Qc 是带有边界r的凸多边形区域．给定源函数 ．厂和系数 ，求解乱(；)满足： · vu( )+u( )= ) + ， ( )E~xS, (2．1) 乱(，) = 0，Onr一， (2．2) 其中 F一： x∈F： ．n(x)0)， ={1，2)，S={∈Ⅱ2：Il=1} n(x)表示边界r在 X处的单位外法线方向． 2o15年 1月 8日收到． 1)基金项 目：国家 自然科学基金 和中国国家重点基础研究发展计划 (2011CB309705)资助项 目 3期 刘会坡：中子输运方程 自适应计算 265 首先用离散纵坐标方法离散方程 (2．1)和 (2．2)的角度变量，其中Q={1，… ，Ⅳ)是积 分点 t∈S的集合， 是正的积分权重．我们选择下面的积分法则 。【，。】： Q= n) 则积分格式可以写成下面的近似形式 UN 磊 2(．3) 设 = {)是区域 Q的三角剖分，参数 h表示三角形K ∈ 的最大直径．下面引出 有限元空间： V ={∈L2(~t)：I是线性的，K ∈ }， 即， 是不连续分片多项式空间． 我们应用离散纵坐标方法离散角度变量，方程 (2．1)可以写成下面的一阶双 曲系统：求解 U={(，1)，札(，2)，… ，u(x，Ⅳ)}满足