线性代数课件赵树源线性代数第18讲.pptVIP

线性代数第18讲 本讲义可在网址 或 下载 第五章　二次型 本章讨论中所涉及的数全是实数。 §5.1 二次型与对称矩阵 (一)二次型及其矩阵 在解析几何中二次曲线的一般方程是 ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0它的二次项 j(x,y)=ax2+2bxy+cy2是一个二元二次齐次多项式在讨论某些问题时, 常遇到n元二次多项式. 定义5.1 只含有二次项的n元多项式 作一个n阶矩阵 设 因为aij=aji(i,j=1,2,?,n), 于是上式可写成 我们常用 f(x)=xTAx (AT=A) (5.2)表示二次型(5.1), 称它为二次型(5.1)的矩阵形式. 矩阵A称为二次型f(x)的矩阵.显然, 一个二次型与一个对称矩阵一一对应. 例如, 二次型 反之, 对称矩阵 (二) 线性替换在解析几何中, 为了确定二次方程 ax2+2bxy+cy2=d所表示的曲线的性态, 通常利用转轴公式: 在转轴公式中, q选定后, cosq, sinq是常数. x,y由x,y的线性表达式给出, 这一线性表达式称为线性替换. 定义5.2 关系式 其中, 矩阵 如上例中, 因为 设 把(5.3)代入(5.2)得 xTAx=(Cy)TA(Cy)=yTCTACy=yTBy其中B=CTAC, BT=(CTAC)T=CTAC=B, 因此yTBy是以B为矩阵的y的n元二次型.如果(5.3)是非退化线性替换, yTBy有下面的形状 例1. 将二次型 解: 用配方法 解: 用配方法 原二次型成标准型 原二次型的矩阵为 线性替换的矩阵为 可见, 要把二次型化为标准形, 关键在于求出一个非奇异矩阵C, 使得CTAC是对角矩阵.上例是通过配方法间接找到非奇异矩阵C的. 一般说来, 这种方法较麻烦, 后边将介绍用初等变换和正交变换的方法求矩阵C. 定义5.3 设A,B为两个n阶矩阵, 如果存在n阶非奇异矩阵C, 使得 CTAC=B则称矩阵A合同于矩阵B, 或A与B合同, 记为 A?B 可见, 二次型(5.1)的矩阵A与经过非退化线性替换x=Cy得出的二次型的矩阵CTAC是合同的. 如上例就有 合同关系具有以下性质:(1) 对于任意一个方阵A, 都有A?A.因为InTAIn=A, In为n阶单位矩阵.(2) 如果A?B, 则B?A.因为CTAC=B, 则(C-1)TBC-1=A.(3) 如果A?B且B?C, 则A?C.因为 §5.2 二次型与对称矩阵的标准形 (一) 用配方法化二次型为标准型 定理5.1 任何一个二次型都可以通过非退化线性替换化为标准形.证: 对二次型(5.1)按以下步骤进行:当aii(i=1,2,?,n)不全为零时执行1?, 否则执行2?.1? aii不全为零, 设a11?0, 则(5.1)改写成 令 (5.5)是一个非退化的线性替换, 代入(5.4)得 对于n-1元二次型 2? aii=0 (i=1,2,?,n), 但至少有一个aij?0, 设a12?0, (5.1)成为 (5.7)是非退化线性替换, 代入(5.6)得 反复执行1?,2?, 在有限步内可化二次型(5.1)为标准型.因为x=Cy, |C|?0, y=Dz, |D|?0, 则x=(CD)z, |CD|=|C|?|D|?0也是非退化线性替换, 因此, 任何一个二次型按以上步骤化为标准型时, 每一步所经的线性替换都是非退化的, 所以总可以找到一个非退化线性替换化二次型(5.1)为标准形. 定理5.2 对任意一个对称矩阵A, 存在一个非奇异矩阵C, 使CTAC为对角形(称这个对角矩阵为A的标准形). 即任何一个对称矩阵都与一个对角矩阵合同. 例. 求一非奇异矩阵C, 使CTAC为对角矩阵. 令 令 因此有 故 作业 习题五(A) 第228页开始第1题, 第2题 当 不全为零时继续执行1?, 否则转2?. (5.6) 令 (5.7) (5.8) 其中y12的系数2a12?0, 转1?. 解: A所对应的二次型 则 * * (5.1) 称为x1,x2,?,xn的一个n元二次齐次多项式, 简称为x1,x2,?,xn的一个n元二次型. 其中aii为(5.1)中xi2的系数(i=1,2,?,n), aij=aji(i?j)为(5.1)中xixj(i,j=1,2,?,n)系数的一半. 显然, A是一个n阶对称矩阵, 即AT=A. 由矩阵乘法可得 即为(5.1). 的矩阵是 所对应的二次型是 选择适当的q, 可使上面的方程化为 ax2+by2=d 称为由变量x1,x2,?,xn到变量y1,y2,?,yn的一个线性变量替换, 简称线性替换. 称为线性替换(5.3)的矩阵, |C|?0时称(5.3)为非退化的线性替换. 所以