线性代数课件赵树源线性代数第8讲.pptVIP

线性代数第8讲 本讲义可在网址 或 下载 矩阵 A11=-5, A12=10, A13=7,A21=2, A22=-2, A23=-2,A31=-1, A32=2, A33=1, 于是得 例2. 如果 证: 所以 例3. 证明: 若A是n阶矩阵, 且存在n阶矩阵B, 使AB=I或BA=I, 则A可逆, 且B为A的逆矩阵.这一结论说明, 如果我们要验证矩阵B是矩阵A的逆矩阵, 只要验证一个等式AB=I或BA=I即可, 不必再按定义验证两个等式. 证: 设有AB=I, 则 |AB|=|A||B|=1故|A|?0, 于是A可逆, 设其逆矩阵为A-1, 则有 B=IB=(A-1A)B=A-1(AB)=A-1I=A-1同理可证, 若有BA=I, 则B=A-1即得B为A的逆矩阵. 例4. 设n阶矩阵A满足aA2+bA+cI=O, 证明A为可逆阵, 并求A-1, (a,b,c为常数, 且c?0) 解: 由aA2+bA+cI=O 有 aA2+bA=-cI又因c?0, 故有 逆矩阵的性质:(1) 可逆矩阵A的逆矩阵A-1是可逆矩阵, 且(A-1)-1=A.(2) 两个同阶可逆矩阵A,B的乘积是可逆矩阵, 且(AB)-1=B-1A-1.因为 (AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AIA-1 =AA-1=I(3) 可逆矩阵A的转置矩阵AT是可逆矩阵, 且 (AT)-1=(A-1)T因为 AT(A-1)T=(A-1A)T=IT=I 例5. 若A,B,C是同阶矩阵, 且A可逆, 证明下列结论中(1),(3)成立, 举例说明(2),(4)不必然成立.(1) 若AB=AC, 则B=C(2) 若AB=CB, 则A=C(3) 若AB=O, 则B=O(4) 若BC=O, 则B=O 解: (1) 若AB=AC等式两边左乘以A-1, 有 A-1AB=A-1AC因A可逆, 所以有A-1A=I.于是有 IB=IC即 B=C (3) 若AB=O等式两边左乘以A-1, 有 A-1AB=A-1O因此 IB=O, B=O. 例6 分块矩阵 解: 设D可逆, 且 于是得 因为A可逆, 用A-1右乘(1)式与(2)式得 XAA-1=A-1 WAA-1=O即 X=A-1 W=O 将X=A-1代入(3)式, 有 A-1C=-ZB因为B可逆, 用B-1右乘上式得 A-1CB-1=-Z即 Z=-A-1CB-1 将W=O代入(4)式, 有 YB=Ik再用B-1右乘上式, 得 Y=IkB-1=B-1 于是求出 §2.6 矩阵的初等变换 定义2.9 对矩阵施以下列3种变换, 称为矩阵的初等变换.(1) 交换矩阵的两行(列);(2) 以一个非零的数k乘矩阵的某一行(列);(3) 把矩阵的某一行(列)的l倍加于另一行(列)上.定义2.10 对单位矩阵I施以一次初等变换得到的矩阵, 称为初等矩阵. 初等矩阵有下列3种:(1) 对I施以第(1)种初等变换得到的矩阵. (2) 对I施以第(2)种初等变换得到的矩阵. (3) 对I施以第(3)种初等变换得到的矩阵 定理2.2 设Am?n=(aij)m?n(1) 对A的行施以某种初等变换得到的矩阵, 等于用同种的m阶初等矩阵左乘A.(2) 对A的列施以某种初等变换得到的矩阵, 等于用同种的n阶初等矩阵右乘A. 证: 现在证明交换A的第i行与第j行等于用Im(ij)左乘A. 将Am?n与Im分块为 由此可见Im(ij)A恰好等于矩阵A第i行与第j行互相交换得到的矩阵.类似的方法可以证明其它变换的情况. 例如, 矩阵 用I3(1 2)表示交换I3的第一行与第2行得出的第(1)种初等矩阵 设对A施以第(3)种初等列变换, 例如将A的第三列乘2加到第一列, 有 用I3(1 3(2))右乘A, 有 容易验证, 初等矩阵都是可逆的, 且它们的逆矩阵仍是初等矩阵. 作业习题二(A) 第101页开始第41,43,45,47题 其中 Ak=(ak1 ak2 ? akn) (k=1,2,?,m) ek=(0 0 ? 1 ? 0) k列 (k=1,2,?,m) 设对A施以第一种初等行变换, 例如交换A的第一行与第二行, 有 用I3(1 2)左乘A, 有 用I3(1 3(2))表示将I3的第三列乘2加于第一列得出的第(3)种初等矩阵 即对A施行某种初等列变换, 等于用同种初等矩阵右乘A. * * 称为矩阵A的伴随矩阵, 记作A*, 于是有 |A|=2 其中ai?0 (i=1,2,?,n) 验证 即 因此A可逆, 且 其中A,B分别为r阶与k阶可逆方阵, C是r?k矩阵, O是k?r零矩阵. 证明D