线性代数课件赵树源线性代数第3讲.pptVIP

线性代数第3讲 本讲义可在网址 或 下载 行列式的例子 例1. 计算行列式 解: 因为第一列与第二列对应元素成比例,根据性质3的推论2, 得 例2. 证明奇数阶反对称行列式的值为零.反对称行列式为下列形式的行列式 证: 利用行列式性质1及性质3的推论1, 有 D=(-1)nD当n为奇数时有D=-D, 即D=0. 解: 计算行列式时, 常用行列式的性质, 把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是: 如果第一列第一个元素为0, 先将第一行与其它行交换, 使第一列第一个元素不为0; 然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行, 使第一列除第一个元素外其余元素全为0; 再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式; 依次作下去, 直至它成为上三角形行列式, 这时主对角线上的元素的乘积就是行列式的值. 例4. 计算行列式 解: 例5. 计算行列式 解: 例6. 解方程 解: 例3. 讨论当k为何值时 解: 例4. 求证 证: 行列式按某k行(列)展开 在n阶行列式D={aij}中, 任意选定k行k列(1?k?n), 位于这些行和列交叉处的k2个元素, 按原来顺序构成一个k阶行列式M, 称为D的一个k阶子式. 划去这k行k列, 余下的元素按原来的顺序构成一个n-k阶行列式, 在前面冠以符号 定理1.6(拉普拉斯定理) 在n阶行列式中, 任意取定k行(列)(1?k?n-1), 由这k行(列)组成的所有k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D.(证明略) 例 用拉普拉斯定理求行列式 解: 按第一行和第二行展开 习题一(A)13.(2) 例 证明 证 把左端行列式的第2,3列加到第1列,提取公因子2,再把第1列乘-1加到第2,3列得 例 计算n阶行列式 解 把各列都加到第一列, 提出第一列的公因子[x+(n-1)a], 然后将第一行乘-1分别加到其余各行, D就化为上三角行列式. 例 证明范德蒙行列式 例如 证 用数学归纳法证明. 当n=2时, 结论成立. 假设结论对n-1阶范德蒙行列式成立, 证明对n阶范德蒙行列式结论也成立. 在Vn中, 从第n行起, 依次将前一行乘-x1加到后一行, 得 按第一列展开, 并分别提取公因子, 得 根据归纳假设可得结论. 习题一(A)30.(3)题 作业习题一(A)第40页开始第26，27，36题 的值. = * * 其特点是元素aij=-aji(i?j时) aii=0 (i=j时) 解之得x1=a1,x2=a2,…,xn-1=an-1是方程的n-1个根. 当k?1且k?2且k?-2时此行列式不等于0. 称为M的代数余子式, 其中i1,i2,…,ik为k阶子式M在D中的行标, j1,j2,…,jk为M在D中的列标. * * *