线性代数课件线代ch52章节.PPTVIP

1,2,3 §5.2 相似矩阵 解 第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值. 的特征值和全部特征向量. 特征值为 第二步：对每个特征值 代入齐次线性方程组 求非零解。 例3 齐次线性方程组为 得基础解系 是对应于 的全部特征向量. 当 时， 系数矩阵 自由未知量: 令 得基础解系: 常数)是对应于 的全部特征向量. 齐次线性方程组为 当 时， 证明A 的特征值只能取1或2. 证： 只能取0， 例4、 证明A 的特征值只能取1或0. 练习 (1) 向量 满足 , 是 A 的特征向量吗？ (2) 实矩阵的特征值(特征向量)一定是实的吗? (3) 矩阵 A 可逆的充要条件是所有特征值______. ，A 有一个特征值为______. (4) ，A 有一个特征值为______. 可逆, A 的特征值一定不等于______. 回答问题 (5) 一个特征值对应于几个特征向量? 一个特征向量对应几个特征值?(后面证明) (6) A 的各行元素之和均等于2,则 A 有一个特征值 是___, 它对应的特征向量是______。 特征向量的个数=____。 是 的一个特征值，它对应的最大无关的 一、单选题 １．可逆矩阵Ａ与矩阵（ ）有相同的特征值． ①ＡＴ； ② Ａ－１； ③ Ａ2； ④ Ａ＋Ｅ ２．Ａ为n 阶方阵，则（ ）结论成立． ① Ａ可逆，则矩阵Ａ属于特征值λ的特征向量 也是Ａ－１属于λ－１的特征向量； ② Ａ的特征向量既为方程(λＥ－Ａ)Ｘ＝０的全部解； ③ 特征向量的线性组合仍是特征向量． ④ Ａ与ＡＴ特征向量相同． 课堂练习 一、单选题 答案： １．①； ２．①; 3. ④ ３．设Ａ是一个可逆矩阵，则其特征值中（ ） ① 有零特征值 ② 有二重特征值零 ③ 可能有也可能无零特征值 ④ 无零特征值 二、填空题 １．已知三阶方阵Ａ的三个特征值为１，－２，３．则 |A|＝（ ）， Ａ－１的特征值为（ ）， ＡＴ的特征值为（ ）， Ａ２＋２Ａ＋Ｅ的特征值为（ ）． ２．设Ａk=0，k是正整数，则Ａ的特征值为（ ） ． ３．若Ａ２＝Ａ，则Ａ的特征值为（ ） ． －６ １，-1/2, 1/3 １，－２，３． 4, 1, 16 0 0, 1 二、填空题 4．设A是3阶方阵，已知方阵Ｅ－Ａ，Ｅ＋Ａ，３Ｅ－Ａ 都不可逆，则Ａ的特征值为（ ）． ５．已知三阶矩阵A的特征值为１，—１，２， 则｜Ａ－５Ｅ｜＝（ ）。 1, -1, 3 -72 求矩阵 A，B 的特征值和特征向量。 练习： 解 （对矩阵A） A 的特征值为 对于 ，解方程组 同解方程组为 ，令 ，得基础解系 因此，对应于特征值 的所有特征向量为 对于 ，解方程组 同解方程组为 ，令 得基础解系 因此，对应于特征值 的所有特征向量为 （对矩阵B） B 的特征值为 对于 ，解方程组 同解方程组为 ，令 ，得基础解系 因此，对应于特征值 的所有特征向量为 对于 ，解方程组 同解方程组为 ，令 ，得基础解系 因此，对应于特征值 的所有特征向量为 小结： 1、特征值与特征向量的定义 2、特征值与特征向量的性质 3、特征值与特征向量的求法 作业： P162 5,6 一、相似矩阵的定义及性质 二、矩阵可对角化的条件（重点) 设A，B都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P，使 则称 B 是A的相似矩阵