线性代数课件xxds14章节.pptVIP

基本要求 一、二次型的概念 二、二次型的标准形概念 三、化二次型为标准型 一、情形1 二、情形2 三、惯性定理 一、正定二次型的概念 二、正定二次型的性质与判别法 三、本讲小结 定理8推论的证明 用到的线性变换为 即 于是， 于是， 所用的变换矩阵为 因此， 的规范形为 定理9 (惯性定理) 设有二次型 ，它 的秩为 ，有两个可逆变换 及 使 及 则 正数的个数相等. 中正数的个数与 中 说明 二次型的标准形正系数的个数称为二次型的 负系数的个数称为负惯性指数. 正惯性指数； 若二次型 的正惯性指数为 ，秩为 ，则 的规范形变可确定为 只有用正交变换把二次型化为标准形，标准 形的系数才是二次型矩阵的特征值. 例5 下列矩阵中，与矩阵 合同的矩阵是哪一个？为什么？ 解 析：此题的目的是熟悉惯性定理，用惯性 定理解题. 容易求得 的特征值 ， 于是可知， 所对应的二次型的正惯性指数 为 ；负惯性指数为 . 合同的二次型应有相同的正、负惯性指数， 故选(B). 应选(B)，理由是: 第七节 正定二次型 定义 设有二次型 ， ⑴ 如果对任何 ，都有 ⑵ 如果对任何 ，都有 ，则称 为负定二次型，并称对称阵 是负定的； 阵 是正定的； (显然 0 )， 则称 为正定二次型， 并称对称 说明 按定义，当变量取不全为零的值时，二次型 若是正定 ( ) 二次型，则它的对应值总是 正数 ( ) . 负定 负数 若 是正定二次型，则 就是负定二次型. 定理10 二次型 为正定的充要条件 是：它的标准形的 个系数全为正数，即它的 正惯性指数等于 . 推论1 正定二次型 (正定矩阵) 的秩为 . 推论2 对称阵 为正定矩阵的充要条件是： 的特征值全为正. 证明 定理11 (霍尔维茨定理) ⑴ 对称阵 为正定的充要条件是： 的各阶 主子式都为正. 即 ⑵ 对称阵 为负定的充要条件是： 的奇数 阶主子式为负，偶数阶主子式为正. 即 正定二次型的判定： 正定 的正惯性指数 的 个特征值全为正 的规范形为 合同于单位阵 可逆 的各阶主子式全为正 证明 例6 判定二次型 的正定性. 解 析：此题的目的是熟悉定理11，用定理11 判定二次型的正定性. 的矩阵为 1 阶主子式： 2 阶主子式： 3 阶主子式： 根据定理11知， 为负定. 个变量的二次齐次函数称为二次型. 只含平方项的二次型称为二次型的标准形， 将二次型化为标准形相当于把二次型的矩阵 合同对角化. 对于任何一个二次型一定存在正交变换将它 化为标准形. 配方法是化二次型成标准形(或规范形)的一 种较方便的方法；惯性定理. 如果 ，总有 (或 )，则称 二次型 是正定(或负定)的，并称 的矩阵 是正定(或负定)的. 矩阵的三大关系： ⑴ 它们的定义 存在 阶可逆阵 和 阶可逆阵 ，使 与 等价 与 相似 与 正交相似 与 合同 存在可逆阵 ，使 存在正交阵 ，使 存在可逆阵 ，使 等价、相似(正交相似) 、合同 ⑵ 关系不变量 等价关系的不变量： 相似关系的不变量： 秩，即 ① 秩，即 ② 特征多项式，即 ③ 特征值. 合同关系的不变量： ① 秩，即 ② 对称性，即若 是对称阵，则 也是 对称阵； ③ 对称阵 对应的二次型的正惯性指 数和负惯性指数； ④ 对称阵 对应的二次型的规范形. * * 主要内容 第十四讲 二次型 二次型的概念，二次型的秩，二次型的矩阵 表示式等概念； 二次型的标准形，合同矩阵，用正交变换将 二次型化为标