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主要内容 一、相似矩阵的概念 二、相似矩阵的性质 三、方阵可对角化的充要条件 四、小结 一、实对称阵的性质 二、实对称阵的对角化 三、小结 思考题 ⑷ 根据 的相似对角阵，求 此例体现了方阵对角化的作用，如前面所述. 将此例与第二章中的有关的例题相比较，后者给 出关系式 、矩阵 和 ，也就是给出条 件① 可对角化；② 的相似对加阵 ；③相似变 换矩阵 . 前者则更具有理论性和实践性: 已知 ， 通过计算 和 ，求 . 因此尽管两者都是求 的 幂，形象地说后者是矩阵乘法的练习，前者是理论 指导下的实践. 说明 对于实对称阵 ，一定在正交阵 ，使 将对称阵正交相似对角化的步骤： 求特征值； 求两两正交的单位特征向量； 写出正交矩阵和对角阵. 思 考 题 1. 设 是 阶矩阵 的 重特征值，对应线性无关 的特征向量恰有 个，证明 . 2. 如果 是矩阵 的两个不同的特征值， 是对应于特征值 的线性无关的特 征向量， 是对应于特征值 的线性 无关的特征向量，那么， 也线性无关. 3. 设 是 阶矩阵， 是 的 个特征向量， 求 . 4. ⑴ 若 ，则 可对角化； ⑵ 若 ，且 ，则 不可对角化. 思考题解答 1. 证 设这 个线性无关的特征向量为 ， 因它们是齐次方程 的基础解系，故 选取 使 这 个向 量线性无关( 可选矩阵 的列向 量组的最大无关组)，并把它们构成可逆矩阵 . 因 ，故 思考题解答 则 与 相似，且 的特征多项式为 可见 的特征值 的重数 . 而 的特征值与 的特征值一一对应， 因此 的特征值 的重数 . 因而 的特征值 0 的重数 . 思考题解答 2.证 设有 ,使 两边左乘 ，得 又 所以 因为 线性无关，所以必有 同理必有 于是， 线性无关 思考题解答 3. 解 因为 是 阶矩阵 的特征值，所以 存在可逆矩阵 ，使 所以 思考题解答 4. 证 ⑴ 设 为 阶矩阵，由 ，得 先证 的特征值知可能是0或1. 设 是 的一个特征值，由 关系式可知， 应有 所以 或1. 再证 有 个线性无关特征向量. 设 则 ，于是 由 知，对应于0的线性无关的特 征向量有 个； 由 知，对应于1的线性无关的特 征向量有 个； 所以 共有 个线性无关特征向量，故 可对角化. ⑵ 用反证法. 假设 能对角化，即存在可逆矩阵 ，使 为对角阵. 所以 而已知 ，故 与 矛盾！ 因此 不能对角化. 思考题解答 作业 作业： P138 13. 14. 15.