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《线 性 代 数》 电子教案 主要内容： 二、三阶行列式的定义； 全排列及其逆序数； n阶行列式的定义及其性质； 排列对换、n阶行列式的第二种定义. 一、二阶行列式的引入 二、二阶行列式的定义 三、三阶行列式的定义 一、有关概念 排列的逆序数 二、计算排列逆序数的方法 三、小结 3. 计算排列的逆序数的方法有两种 一、概念的引入 二、ｎ阶行列式的定义 例题 三、行列式的第二种定义 四、行列式的性质 五、小结 思考题 定理1的证明 性质1的证明 性质2的证明 性质3的证明 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数，即算出排列中每个元素的逆序数，每个 元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数. 例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中, 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1; 分别计算出排在 前面比它大的数 的个数，即分别算出 这 个元 素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所 排列的逆序数. 方法 1 方法 2 3 2 5 1 4 于是排列32514的逆序数为 5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1; 例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. 解 此排列为偶排列. 解 当 时为偶排列； 当 时为奇排列. 根据方法2 解 当 为偶数时，排列为偶排列， 当 为奇数时，排列为奇排列. 1. 个不同元素的所有排列种数 2. 排列具有奇偶性 第三节 阶行列式的定义和性质 三阶行列式 说明 （1）三阶行列式共有 项，即 项． （2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积． （3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列． 列标排列的逆序数为 偶排列 奇排列 例如 列标排列的逆序数为 定义 第一定义式： 说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的; 2、 阶行列式是 项的代数和; 3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积; 4、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆; 5、 的符号为 例1　计算对角行列式 分析 解 　　　　　在　阶行列式的定义中，行列式的元素 记作　　，记号　　不仅代表一个数，还表明这个数在行列式中的位置．本例中是具体数，不能显示它们在行列式中的位置．因此，需要把数在行列式中的位置标示出来． 从而得到乘积　　　中各元素的列标排列为４３２１． 即行列式中不为零的项为 所以 只能等于 , 同理可得 从而这个项为零， 展开式中项的一般形式是 例２ 证明对角行列式 证明 第一式是显然的,下面证第二式. 若记 则依行列式定义 证毕 例３ 计算上三角行列式 分析　根据行列式的定义，　 展开式中项的一般形式是 所以不为零的项只有 解 当　　　时， 此项等于零，因此 对于 当　　　　　时， 从而此项也等于零，因此 同理可得下三角行列式 例４ 1. 对换 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不 动，这种做出新排列的手续叫做对换，将相邻两个 元素对换，叫做相邻对换. 例如 对换 相邻对换 2. 对换与排列的奇偶性的关系 定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性. 推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数； 偶排列变成标准排列的对换次数为偶数. 证明 3. 行列式的第二种定义 对于行列式展开式的任意一项 其中行标排列 为自然排列， 为列标排列 的逆序数， 交换 与 的位置得 这时，这一项的值不变，而行标排列与列标排列同 作了一次相应的对换： 由于行标排列和列标排列都作了一次对换，因此 它们逆序数之和的奇偶性没有改变. 则 和 的奇偶性相同，从而 这表明，行列式的展开式中每一项前的符号由行 标排列和列标排列的逆序数之和的奇偶性确定.当列 标排列变为标准排列时，行标排列相应的变为一个 新的排列，设为 ，其逆序数为 ，则 定理2 阶行列式也可定义为 其中 为行标排列的 逆序数. 第二种定义式 记 行列式 称为行列式 的转置行列式. 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 说明 此性质表明，行列式中的行和列具有同等的地 位，行