密码学的计算复杂性理论基础-read.pptVIP

第4章 密码学的计算复杂性理论基础 4.1 问题与算法的复杂性 4.1.1 问题与语言 例4.1 . 整数的因子分解问题。 例4.2 . 背包问题。 实际应用中的绝大多数问题都可直接或间接地转化为判定问题。 定义4.1 的任一子集L称为一个B－语言（或简称语言）。语言L中的字称为语言L的成员。 定义4.2 设一个语言 已给定。语言L成员的识别问题可描述为：任给 （参数），问是否x是L语言的成员（是否 ）？ 定义4.3 设 为一个问题，B为一个字符集。从I到 中的一个映射c，满足条件 （空集），称为问题D的一个B－编码。若c为D的一个编码，集 称为D的一个c－语言。 引理4.1 若c为D的一个编码，则求解问题D和求解语言 的成员识别问题是等价的，即问题D的任一例子 ，其答案与语言 的成员识别问题的例子的答案 是相同的。 一个合理编码还应满足下列两个基本要求： 1） 编码是容易实现的； 2） 求解问题的任一例子的计算复杂性（通常用计算时间来表示）与的长有某种正比关系。 4.1.2 算法与图灵机 定义 4.4 一个确定性单带图灵机由下列集和函数构成。 1. 1）带中所用字符集B，通常可设 ，其中 表示空。 2）读写头所处的可能状态集S，其中包含一个初始状态 和若干个停机状态 。 3）读写头所处状态的转移函数 ，它是读写头现在所处状态s和所读字符b的函数，表示为 。 4）读写头动作的指令函数 ，它也是读写头现在所处状态s和所读字符b的函数，表示为 ，其中 且都不属于B。若 ，则读写头写字符 代替b，且保持原位不动。若 ，则原字符b保持不变，读写头向左（或向右）移动一个小方格。 2. 磁带上的每个小方格用一个整数坐标i表示。小方格i中的字符记作t(i)，磁带表示为函数 。 3. 图灵机在某一时刻的形是指一个三元组 ，它们分别表示该时刻读写头所处状态，磁带和读写头所扫描的小方格坐标，t(i)为读写头在该时刻所读字符。 一个图灵机的计算程序（算法）是一个形的有限或无限序列 ，其中 为图灵机在初始时刻的形，即 为初始状态，为初始磁带，它由输入数据（字） 给出，通常存放在 小方格中，其它小方格中为空字符 ，通常 。图灵机在k时刻的形 由下面的递推式给出。 若存在形 使 ，则计算在时刻 终止，同时停机，称 或 为计算的输出结果，K称为图灵机（算法）的运行（计算）时间。否则计算将不终止，不停机，直到无限。 定义 4.5 称一个图灵机 M可解一个语言L 的成员识别问题,若对任一输入数据 ，M在有限时刻 停机，且M的输出 ，若 。否则 。图灵机的计算复杂性定义为 定义 4.6 设f(n)和g(n)为两个正整数函数，若存在正整数 和常数c使当 时有 ，则记作 ；若 ， ，则记作 定义4.7 设 和 为图灵机M和 的计算复杂性，若 ，则称算法 不比算法M有效；若 ，则称算法M和 是等效的；若存在正整数d， ，则称M为多项式时间算法，按密码学中的传统观念，认为多项式时间算法为有效算法；若 ，则称M为亚指数时间算法；若 ，则称M为指数时间算法。亚指数和指数时间算法也被称为超多项式时间算法，被认为不是有效算法。 4．2 问题的计算复杂性分类 4.2.1 P，NP，NP完全类问题 定义4.8 一个语言L的成员识别问题属于P类，若存在一个可解该问题的图灵机M和一个正多项式