Chap03数值积分PPT.ppt

第3章 数值积分;第3章 数值积分;§3.1 数值积分公式及其代数精度;称上式为数值积分公式。 xk (k = 0 , 1 , . . . , n) 称为求积节点。权 Ak 又称求积系数, Ak 仅与 xk 的选取有关。 ; 2.数值积分公式的代数精度;若有解，则得到的数值积分公式(1.2)至少有2n+1次代数精度。;3 插值型数值积分公式;定义1.2 对于数值积分公式 (1.2);定理 1.2 插值型数值积分公式至少具有n 次代数精度。;4. Newton-Cotes公式;因此有; n = 1~8 的Cotes系数;当 n = 1 时, 可得到 基本梯形公式; Newton-Cotes公式的余项;5 误差分析 Newton-Cotes公式数值稳定性;令;若 同号,则有;§3.2 复化求积法与Romberg算法;1 复化求积法;1.1几个常用的复化求积公式 ;余项;例如复化梯形公式: ;定义2.1 若复化求积公式 In ( f ) 满足;例2.1 利用复化梯形公式和simpson公式计算;;;例2.2 利用复化求积公式计算积分; (2) 将区间 [ 0, 1] 4等分, 步长 采用复化 Simpson 公式计算, 仍然利用原来 9 个分点处的函数值, 求得;2. 变步长的梯形公式; 例如: 对于积分; 现在将 h 折半, 再将上述每个区间 [ xk , xk+1 ] 对分一次, 分点增至 2n + 1 个, 设上述小子区间的中点为;变步长的梯形公式的算法 ;例2.3 用变步长的梯形公式计算积分;;k;3. Richardson外推算法;;; 一般地, 选取 q 为满足 的正数, 由此得到序列;4. Romberg 算法; 设 f (x) 在区间 [a , b] 上任意次可微, 根据 Euler-Maclaurin公式有;知T2 ( h ) = Sn，; 当 m = 2 时 , ;则 T4 ( h ) 逼近 I 的误差为 O ( h8 )。 ;; ① T 1;例2.4用Romberg算法计算下列积分 (精确到10-6);§3.3 Gauss型求积公式;则;其中 (3.2) ;定理3.1 求积公式(3.1)的代数精度最高不超过2n + 1次.;对于2n+2次多项式 不准确成立，可知(3.1)的其代数精度至多为2n+1。;定义 3.1 若插值型求积公式(3.1);定义 3.2 给定区间 [a, b] 和权函数 ρ(x) 及多项式序列;1. 1 Gauss积分公式; 设求积节点xk (k = 0, 1, . . ., n)是正交多项式 的零点，其首项系数为 ，则 ;定理3.4 Gauss型求积公式(3.1)的求积系数Ak;1.2 Gauss积分公式的余项, 收敛性与稳定性;Gauss 求积公式的数值稳定性;Gauss 求积公式的数值稳定性;其中;定理 3.6 对???意的 f ∈ C[a , b], 则 Gauss 求积公式均收敛, 即有;2 几种常用的Gauss型求积公式;可以证明, Legendre 多项式有下列递推关系：;所以，当n =0 时，一次勒让德(Legendre)多项;当n = 1时，二次勒让德（Legendre）多项式 ;常见Gauss-Legendre求积公式 ;1~5 个节点的Gauss-Legendre求积系数（真值）;续Gauss-Legendre求积系数（真值）;对于一般的区间[a, b]，可作坐标变换 ;例 3.1 利用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分 ;本章小结;复化梯形公式的推导