板弯曲与平面弹性问题的多类变量变分原理1.pdfVIP

板弯曲与平面弹性问题的多类变量变分原理1 1 2 钟万勰 ，姚伟岸 1大连理工大学工业装备与结构分析国家重点实验室(116023) 2大连理工大学工业装备与结构分析国家重点实验室(116023) email:zwoffice@ 摘 要： 进一步完善板弯曲与平面弹性问题的多类变量变分原理，给出了相关边界积分项 的具体表达式。多类变量变分原理涵盖了平衡、应力函数—应力、位移—应变、协调和物性 共五大类基本方程和所有边界条件，是一个具有更加广泛意义的变分原理。 关键词：板弯曲 平面弹性 变分原理 应力函数 1. 引 言 弹性力学变分原理是一个基本课题，它无论是在理论上还是在实用上都有重要的价值。 经典的有一类变量的最小总势能原理和最小总余能原理、二类变量的Hellinger-Reissner变分 原理、直至三类变量的胡—鹫变分原理[1,2]，这些变分原理都得到了广泛关注及应用。虽然 也有人提出了四类变量的变分原理[3]，但变分所得的方程不全，有重复的，尤其是缺乏了应 变—位移关系与应力—应力函数关系，难于认同。文[4]在胡—鹫变分原理的基础上，给出 了广义变分原理的一般数学表述形式，并将其推广给出一个涉及应力—应力函数和协调方程 的广义变分原理。传统的变分原理所讨论的均是无残余变形的问题。 板弯曲的基本方程是重调和方程，而平面弹性问题的传统解法所采用的Airy应力函数也 满足重调和方程，两者间有相似性[1,5,6] 。在板弯曲与平面弹性问题模拟理论的基础上，应力 函数很自然地也要进入变分原理，出现了类胡—鹫变分原理[5,6] 。板弯曲的类胡鹫变分原理 对应平面弹性的胡鹫变分原理，而板弯曲胡鹫变分原理对应平面弹性的类胡鹫变分原理。多 类变量变分原理[7]将胡—鹫与类胡—鹫变分原理融为一体，但是其周界积分项在文中未曾提 及且在解的唯一性上有疏漏，本文拟补此不足。 本文所给出的多类变量变分原理，它除了位移、应力和应变外，还包括应力函数和残余 应变，涵盖平衡方程、应变—位移关系、应力—应变关系、变形协调方程和应力—应力函数 弹性力学所有五大类基本方程，它是目前为止最一般的变分原理，而且从中可以导出传统的 变分原理。本文的多类变量变分原理不仅可用于处理有残余变形的弹性力学问题，而且根据 1 Project supported by the National Natural Science Foundation and the Doctoral Research Foundation of China 1 板弯曲与平面弹性之间的模拟关系，可综合两者直接给出扁壳的多类变量变分原理，从而为 扁壳相关问题的求解提供新的机会。 2. 板弯曲多类变量变分原理 板弯曲方程可以分类为 T ⎧ 2 2 2 ⎫ T T ∂ ∂ ∂ 平衡： K (∂)m K (∂)m q , K (∂) ⎨ , , − ⎬ (1) a 0a z ⎩∂y 2 ∂x 2 ∂x∂y ⎭ T ⎡∂/