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对“圆锥曲线”章节复习的几点建议 圆锥曲线是高中数学的一个重点内容，同时也是每年高考的一个热点问题。在高三该章 节的复习中，应尽量做到定义、方程、图形、性质的有机联系和对比，引导学生从以下四个方面予以突破。 一、围绕定义作文章 高中数学新教材都是从日常生活实际应用出发，结合图形给出了椭圆、双曲线、抛物线的第一定义；同时又用动点与定点的距离和它到定直线的距离的比为常数–y= 4上，F、F是其左、右焦点，从F引 平分线的垂线，垂足为P，求点P的轨迹。 解：延长FP交FA于点B(图略) ，则：|AB|=|A F|，OP为的中位线， 由双曲线第一定义知：||FA|–|A F|=4=||FA|–|AB||=|B F|，故|OP|=|B F|=2， 点P的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆x+y=4。 类似地： P是以F1、F2为焦点的椭圆上一点， 过焦点F2F1PF2外角平分线的垂线， 垂足为M，则点M的轨迹是 （　Ａ　） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 例2．方程表示的曲线是( )． A．圆 　 　B．椭圆　　 C．双曲线　　 D．抛物线 解：原方程可转化为，　由圆锥曲线的第二定义即知 动点(ｘ，y)到定点(1，1)的距离和它到直线x＋y＋1=0的距离之比为， 　选（Ｃ）． 类似地：(2003年湖南省高中数学竞赛题) 　　　若以圆锥曲线的一条经过焦点F的弦AB为直径的圆与对应的准线ｌ无公共点，则此圆锥曲线为　( 　 )． 　　　 A．双曲线 　B．椭圆 　 C．抛物线 　 Ｄ．椭圆或抛物线 （　　无公共点 ） 　　　　 选　(B)． 二、巧思妙想求方程 平面解析几何研究的一个主要问题是：根据已知条件，求出表示平面曲线的方程。高考中经常考查求轨迹方程，这就要求学生在平时的训练当中，不仅要熟练掌握定义法、直译法、相关点法、待定系数法等常用方法，更应积极思考，巧妙利用平面向量、结合定比分点公式，注意解题思维的优化创新。 例3．(2003年高考理科题)已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（ ） （A） （B） （C） （D） 解：将四个选项方程分别与y=x-I联立消y得：(A)为x+6x—15=0、(B)为x-8x+16=0、 (C)为3x-10x+15=0、(D)为3x+4x-12=0，其中只有(D)满足， 选 (D)． 点拨：上述解法采用“整体思维，设而不求”，应注意引导学生加强训练。再如设标准方程：mx+ny=1，当m、n0且mn时为椭圆；当m·n0时为双曲线，这样可避免分焦点在x轴和y轴上的讨论! 例4． (2002年新课程卷) 已知两点，且点使，， 成公差小于零的等差数列。 （1）．点P的轨迹是什么曲线？ （2）．若点P坐标为，记为与的夹角，求． 解：(1)．设P(x，y)，则：，， ， ，， ， 由已知有： x0 故点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆． (２)　（０＜ｘ），则： ， 　． 三、优化思维导性质 平面解析几何研究的另一个主要问题是：通过方程，研究平面曲线的性质。每年高考中涉及焦点、离心率、准线、渐近线等性质的选择、填空题还真不少!这就要求学生在掌握基本几何性质的基础上，更应该发散联想、优化思维，既要保证正确率，又要节省时间。 例5．(2003年文科题) 双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为，则双曲线的离心率为（ ） （A）． （B）． （C）． （D）． 解： ，若取定b=l，则c＝，ｅ＝，选 (Ｂ)． 例6．如图，椭圆中若|AF|=2|BF|，则其离心率ｅ= ． 解：，而|AF|=2|BF|，， ． 例7． (2000年北京)若双曲线1的两条渐近线互相垂直，则其离心率ｅ= ( )． A．2 　　　　 B．　　　　Ｃ．　　　 D． 解：等轴双曲线的ｅ＝且两条渐近线y＝x互相垂直，反之亦成立．选(Ｃ)． 发散：双曲线1中，若a=b则为等轴双曲线；若将“１”改为“–1”， 即为其共轭双曲线；若将“1”改为“０”就得其渐近线方程!若点P在其上且，则S＝，类似地在椭圆中有． 四、数形结合探重点 圆锥曲线中有几类典型问题：(1)．用“整体思维，设而不求”