5.9无穷限反常积分.pptVIP

无穷限的反常积分 定义1. 设 例1. 计算反常积分 例2. 证明第一类 p 积分 例3. 计算反常积分 内容小结 说明: (1) 有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以互 (3) 有时需考虑主值意义下的反常积分. 其定义为 备用题 试证 * 常义积分 积分限有限 被积函数有界 推广 无穷限的反常积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 反常积分 (广义积分) 5.9无穷限反常积分 第五章 引例. 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲 边梯形的面积 可记作 其含义可理解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作 这时称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散 . 类似地 , 若 则定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定义 ( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 . 无穷限的反常积分也称为第一类反常积分. 并非不定型 , 说明: 上述定义中若出现 机动 目录 上页 下页 返回 结束 它表明该反常积分发散 . 引入记号 则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: 分析: 原积分发散 ! 注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 . (P297 例3) 证:当 p =1 时有 当 p ≠ 1 时有 当 p 1 时收敛 ; p≤1 时发散 . (P296 例2) 因此, 当 p 1 时, 反常积分收敛 , 其值为 当 p≤1 时, 反常积分发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 反常积分 积分区间无限 常义积分的极限 2. 两个重要的反常积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 相转化 . 例如 , (2) 当一题同时含两类反常积分时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 应划分积分区间, 分别讨论每一区间上的反常积分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 常积分收敛 . 注意: 主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反 , 并求其值 . 解: 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * * * * *