38.2014高考领航数学(理)6-7.docVIP

【A级】　基础训练 1．如果命题p(n)对n＝k(kN*)成立，则它对n＝k＋2也成立．若p(n)对n＝2也成立，则下列结论正确的是(　　) A．p(n)对所有正整数n都成立 B．p(n)对所有正偶数n都成立 C．p(n)对所有正奇数n都成立 D．p(n)对所有自然数n都成立 解析：由题意n＝k成立，则n＝k＋2也成立，又n＝2时成立，则p(n)对所有正偶数都成立．故选B. 答案：B 2．(2013·深圳市明德外语实验学校高三上学期期末测试)用数学归纳法证明：12＋22＋…＋n2＋…＋22＋12＝，第二步证明由“k到k＋1”时，左边应加(　　) A．k2　　　　　　　　　　B．(k＋1)2 C．k2＋(k＋1)2＋k2 D．(k＋1)2＋k2 解析：当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋k2＋…＋22＋12； 当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋…＋22＋12，故选D. 答案：D 3．(2013·三明模拟)某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k(kN*，k≥1)时，该命题成立，则一定可推得当n＝k＋1时，该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，则(　　) A．n＝4时该命题成立 B．n＝6时该命题成立 C．n＝4时该命题不成立 D．n＝6时该命题不成立 解析：因为“当n＝k(kN*，k≥1)时，该命题成立，则一定能推出当n＝k＋1时，该命题也成立”，故可得n＝5时该命题不成立，则一定有n＝4时，该命题也不成立．故选C. 答案：C 4．使|n2－5n＋5|＝1不成立的最小的正整数是________． 解析：n＝1,2,3,4代入验证成立，而n＝5验证不成立． 答案：5 5．(2013·长春模拟)如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来的(n＝1,2,3，…)，则第n－2(n≥3，nN*)个图形共有________个顶点． 解析：当n＝1时，顶点共有3×4＝12(个)， 当n＝2时，顶点共有4×5＝20(个)， 当n＝3时，顶点共有5×6＝30(个)， 当n＝4时，顶点共有6×7＝42(个)， 故第n－2个图形共有顶点(n－2＋2)(n－2＋3)＝n(n＋1)个． 答案：n(n＋1) 6．(2013·徐州模拟)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(kN*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真． 解析：n为正奇数，假设n＝2k－1成立后，需证明的应为n＝2k＋1时成立． 答案：2k＋1 7．用数学归纳法证明下面的等式 12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1. 证明：(1)当n＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0·＝1， 原等式成立． (2)假设n＝k(kN*，k≥1)时，等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1. 那么，当n＝k＋1时，则有 12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k－1＋(－1)k·(k＋1)2 ＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)] ＝(－1)k， n＝k＋1时，等式也成立， 由(1)(2)得对任意nN*有 12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2 ＝(－1)n－1. 8．已知点Pn(an，bn)满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝(nN*)，且点P1的坐标为(1，－1)． (1)求过点P1，P2的直线l的方程； (2)试用数学归纳法证明：对于nN*，点Pn都在(1)中的直线l上． 解：(1)由题意得a1＝1，b1＝－1， b2＝＝，a2＝1×＝， P2(，)． 直线l的方程为＝， 即2x＋y＝1. (2)证明：当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1成立． 假设n＝k(k≥1且kN*)时，2ak＋bk＝1成立． 则2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1 ＝·(2ak＋1) ＝＝＝1， 当n＝k＋1时，2ak＋1＋bk＋1＝1也成立． 由知，对于nN*，都有2an＋bn＝1，即点Pn在直线l上． 【B级】　能力提升 1．某个命题与自然数n有关，若n＝k(kN*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得(　　) A．当n＝6时该命题不成立 B．当n＝6时该命题成立 C．当n＝4时该命题不成立 D．当n＝4时该命题成立 解析：原命题正确，则逆否命题正确，故应选C. 答案：C 2．(2013·威海模拟)设f(x)是定义在正整数集上的函数，对于定义域内任意的k，若f(k)≥k2成立，则f(k＋1)≥(k＋1)2成立．下列命题成立的是(　　) A．若f(3)≥9成立，则对于任意k≥1，均有f(k)≥k2成立 B．若f(4)≥1