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2011全国高中数学竞赛练习题 3、不等式0的解集是 ( ) A．[2，3] B。（2，3） C。[2，4] D。（2，4） [答案]3、解：原不等式等价于 设 解得。 即。 故选C。 2003年全国高中数学联赛(第一试) 7．不等式的解集是______________ 9. 已知 若，则实数的取值范围是_____________. 13． 设 证明不等式 [答案]7. . 提示： 原不等式可以化为: 9. 提示：,令,,则只需在（1，3）上的图象均在x轴的下方，其充要条件是,由此推出; 13． 证明：由可得 当且仅当a=b=c=d时取等号 ……5分 则 ……………………………………………………15分 因为不能同时相等，所以 ……………………………………20分 2001年全国高中数学联赛试卷 4．如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是（　 ） （A）k=（B）0k≤12 （C） k≥12（D） 0k≤12或k= 　 6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（　 ） （A）　 2枝玫瑰价格高　　　　　　　 （B）　 3枝康乃馨价格高 （C）　 价格相同　　　　　　　　　　（D）　 不确定． 10. 不等式的解集为　 　　　　． 11．函数的值域为　　　　　　 [答案]．4．D 6．A 10． 11． 2000年全国高中数学联赛 (第一试) 10．已知是定义在上的函数，且对任意都有　 若，则　　　　　　． 11．若，则的最小值是　　　　　　　． 12．使不等式对一切恒成立的负数的取值范围是　　　　　　　　． [答案]10. 解：由，得，所以 即， ∴ ∴ 即是周期为1的周期函数，又，故 11. 解： 由对称性只考虑，因为，所以只须求的最小值． 令公代入，有． 这是一个关于的二次方程显然有实根，故，∴ 当，时，．故的最小值为 12. 解：原不等式可化为 ∵，， ∴当时，函数有最大值， 从而有，整理得 ∴或，又，∴ 1999年全国高中数学联合竞赛三、(满分20分)已知当x?[0,1]时，不等式恒成立，试求的取值范围． [答案]13. 若对一切x?［0，1］，恒有f(x)= ， 则 cosθ=f(1)0, sinθ=f(0)0. 　 (1) 取x? (0，1)，由于 ， 所以，恒成立，当且仅当 (2 ) 　　先在［0,2π］中解(1)与(2)：由cosθ0,sinθ0，可得0θ. 又由（2）得　　　sin2θ　　注意到02θπ，故有2θ , 所以，θ . 因此，原题中θ的取值范围是2kπ+θ2kπ+ ,k?Z. 或解：若对一切x∈［0，1］，恒有 f(x)=x2cosθ-x(1-x)+(1-x)2sinθ0，　　则cosθ=f(1)0,sinθ=f(0)0. 　(1)　　取 x0= ∈(0，1)，则 ．　　由于 +2x(1-x)，　　所以，0f(x0)=2x0(1-x0) ．　　故 -+0 　(2)　　反之，当(1)，(2)成立时，f(0)=sinθ0，f(1)=cosθ0，且x∈(0，1)时，f(x)≥2x(1-x)0．先在［0,2π］中解(1)与(2)：　　由cosθ0,sinθ0，可得0θ.　　又-+0, , 　sin2θ, sin2θ,注意到 02θπ，故有 2θ ,　　所以，θ .因此，原题中θ的取值范围是 2kπ+θ2kπ+ ,k∈Z 首届中国东南地区数学奥林匹克 （2004年7月11日 8：00 — 12：00 温州） 五、已知不等式对于恒成立，求a的取值范围。 [答案]五、解：设，则 从而原不等式可化为： 即， 原不等式等价于不等式（1） （1）不等式恒成立等价于恒成立。 从而只要。 又容易知道在上递减，。 所以。 2004四年全国高中数学联合竞赛（天津初赛） 2．若，且，则下列各式中最大的是（　C　） （A）　　　　　　　　　（B） （C） （D） 2004年全国高中数学联赛四川省初赛 已知不等式m2＋(cos2θ－5)m＋4sin2θ≥0恒成立，则实数m的取值范围是AA.0≤m≤4 B.1≤m≤4 C.m≥4或x≤0 D.m≥1或m≤0 8．不等式|x2－2|≤2x＋1的解集为__________________.8、{x| EQ \r(2)－1≤x≤3} 10．若0＜a、b、c＜1满足条件ab＋bc＋ca＝1，则 EQ \f(1,1－a)＋\f(1,1－b)＋\f(1,