高等数学 向量乘积.pptVIP

* 向量的乘积 投影形式： 一.向量的数量积： 两个向量a与b的数量积等于 1.数量积的定义： 又称数积、内积、点积，其值为一个数量。 及其夹角?余弦的乘积， ② a·b=b ·a ①a·a=a2=|a|2 2.数量积的性质： 故有 a·b= |a| · prjaa同理，有 a·b= |b| · Prjba 易知|b|cos?= |b|cos（a,^b)为b在a上的投影， 即a·b= |a| · |b|cos?， 记为a·b， 两个向量的模|a|、|b| 3.数量积的坐标表示： 推论：①非零向量a 、b垂直的充要条件是： ③(a+b)·c=a ·c+b ·c ⑤a ·b=0?a?b (当a、b非零时） ④?(a ·b)=(?a) ·b=a ·(?b) a ·b =axbx+ayby+azbz 设有向量a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,则有 ②由 a·b= |a| · |b|cos?，可得夹角余弦的坐标表达式 axbx+ayby+azbz=0； 例1 已知三点M（1，1，1），A（2，2，1），和 B（2，1，2）求 例2 在xoy平面上找一单位向量，使它与向量 垂直 解：设在xoy面上所找的向量为 则 即 解得 例4 设 是单位向量， 解： 因 构成一个等边三角形且 所以 所以 且 求 且 例3 求与向量a=2i-j+2k共线且满足a·x=-18的向量x. 则称c为a,b的向量积，记为c=a×b, 又称为叉积或矢量积. 解：因为a与x共线，则必存在?≠0，使 二.向量的向量积： 1.向量积的定义：设有向量a,b，定义c如下： 所以 ?= -2 x={-4,2,-4} x= ?a={2 ?,- ?,2 ?},又a·x= -18,即 4 ?+ ?+4 ?=-18 c的方向由a,b按右手法则确定， c的模|c|=|a|·|b|sin?； (其中?为a,b的夹角） 注： a×b是一个向量；而且其特征为方向与a与b都垂直， 模等于以a,b为邻边的平行四边形的面积。 即 2.向量积的性质： ① a×a=0; 3.坐标表示：设有向量a=axi+ayj+azk,b=bxi+byj+bzk,则有 a×b =（aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)k 向量的叉乘积不满足交换律 ⑤两个非零向量a与b互相平行的充要条件是a×b=0 ④?(a×b)=a ×(?b)= (?a) ×b ③(a+b) ×c=a ×c+b ×c ② b×a=- a×b 推论：向量a与b平行?aybz-azby=azbx-axbz=axby-aybx=0 上式说明：两非零向量平行?对应坐标成比例； 例2 求与两向量a={2,3,-1}和b={-3，-1，1} 都垂直的单位向量。 C= =2i+j+7k 再将c单位化得：co={ } 解：显然，c=a×b与两向量都垂直，先求 c: 上式中，若有分母为零，则对应的分子也为零。 例 求一向量，使得此向量与三个点M1（3，0，2） ， M2（5，3，1）， M3（0，-1，3）所在平面垂直。 解： 设所求向量为 ，因为所求向量与三个点所在平面垂直， 求 的面积。 所以 例2 求证 证 n0为单位向量 §4 曲面与空间曲线 例1：求与A(2,3,1)和B(4,5,6)等距离的点的运动规迹。 1.曲面方程的一般概念： 而满足此方程的点都在曲面上，则称此方程为 该曲面的方程，而曲面称为此方程的‘’‘图形。 定义：若曲面上的点的坐标(x,y,z) 一.曲面及其方程： 都满足方程F(x,y,z)=0， 解： 设M(x,y,z)为动点的坐标，动点应满足的条件是 |AM|=|BM|由距离公式得 整理得 此即所求点的规迹方程，为一平面方程。 2.坐标面及与坐标面平行的平面方程： ③坐标面yOz、坐标面zOx以及过（a,b,c)点 且分别与之平行的平面方程：x=0; y=0; x=a; y=b ②过点（a,b,c)且与xOy面平行的平面方程：z=c ①坐标平面xOy的方程：z=0 3. 球面方程： ①球面的标准方程：以M0(x0,y0,z0)为球心，R为半径 的球面方程为