高等数学第三章讲义(商学院)PPT.ppt

函数的稳定点（驻点） 函数导数值为0的点称为函数的稳定点或驻点。 1、函数的极值及其求法 极值的定义: 为极大点 , 是极大值 是极小值 为极小点 , 2、极值的判定 定理1（极值的必要条件）：若函数f(x)在x0可导，并且在x0处取得极值，则 证明由费马引理直接得。 结论：可导的极值点是稳定点（驻点） 定理 2 (极值第一充分条件) 单调函数必无极值。 函数可能的极值点：稳定点、不可导的点。 极值点可能会是那些点？ 例. 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 2) 令 得函数的稳定点为 3) 列表判别 是极大值点， 极大值为 是极小值点， 极小值为 函数的不可导的点为x=0 定理3 (极值第二充分条件) 证: (1) 存在 由极值判断的第一充分条件知 (2) 类似可证 . 例. 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 2) 求驻点 令 得驻点 3) 判别在驻点处，函数二阶导数的符号。 因 故 为极小值 ; 用极值的第二充分条件判别失灵. 求函数 求函数y=2x3-9x2的单调区间。 的极值 课堂练习 3、闭区间上连续函数的最大值与最小值 则其最值只能 在极值点或端点处达到 . 那些点可能是最值点？ 最值点与最值 求函数最值的方法: (2) 最大值 最小值 (1) 求 在 内的极值点 例. 求函数 在[-1,2]上的最大值和最小值 . 第三章 复习与习题 罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理(条件与结论) 理解泰勒定理及多项式逼近函数的思想。 理解: 理解函数极值的概念. 掌握与会求: 掌握洛必达法则求极限的方法(各种类型的不定式极限); 掌握利用导数判断函数单调性和求极值的方法。 会求解最大值最小值应用问题。 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求曲线的拐点与渐近线。 1、讨论函数 在区间 是否存在稳定点。 2、验证罗尔定理对函数 在区间 上的正确性。 3、按 的幂展开多项式 4、求函数 的单调区间、极值、凹凸区间、拐点和渐近线。 5、若函数f(x)的导数在x=a处连续，又 问：函数在x=a处是否有二阶导数？在x=a处是否取是极值，是否是函数的拐点？ 6、若函数f(x)在[-a,a]上有连续三阶导数，且 问：0是不是极值点，（0，f(0))是不是函数的拐点？ 7、证明 8、求极限： 课后作业 P152习题3-4：3[1，4]、5[1、3]、9[1，3] P162习题3-5：1[1，4]、4[1、3] 补：求函数 的渐近线。 2、曲线的渐近线 第三章 定义 . 若曲线 C上的点M在运动的过程中与某一直线 L 的距离趋于 0,则称直线 L 为曲线C 的渐近线 . 曲线的渐近线 例如, 双曲线 有渐近线 （1）. 水平与垂直渐近线 若 则曲线 有水平渐近线 若 则曲线 有垂直渐近线 垂直渐近线只能在无穷间断点处取。 第三节 泰勒 ( Taylor )公式 第三章 一、泰勒中值定理1（带有拉格朗日余项的泰勒公式 ） 阶导数 , 时, 有 则当 其中： 称为泰勒多项式： 称为拉格朗日型余项。 泰勒公式的作用： 将任一符合一定条件的函数用多项式函数表示出来。 余项的性质： … f(x)的n次泰勒多项式与f(x)的关系： 特例: (1) 当 n =0 时, 泰勒公式变为 (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 给出拉格朗日中值定理 证明： 称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 . 则有 在泰勒公式中若取 由此得近似公式 二、中值定理2（带有皮亚诺(Peano) 余项的泰勒公式. 阶导数 ,且 时, 有 则当 连续 三、几个初等函数的麦克劳林公式 其中 其中 类似可得 其中 其中 已知 其中 类似可得 4 2 2 4 6 4 2 0 2 4 6 泰勒多项式逼近 4 2 2 4 6 4 2 0 2 4 6 泰勒多项式逼近 泰勒公式的简单应用：求极限。 求 则（1）如果在f(x)在开区间 (a , b) 内， 定理 1. 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 一、函数单调性的判定法 在闭区间 [a , b] 上连续，在开区间 (a , b) 内可导 那么函数在闭区间 [a , b]上单调增加； （2）如果在f(x)在开区间 (a , b) 内， 那么函数在闭区间 [a , b]上单调减少。 证: 任取 由拉格朗日中值定理得 故 这说明 单调递增. 注意：定理只是充分条件，不是必要条件。 比如y=x3 单调的另一判断 如果函数在闭区间连续，在相应开区间内可导，且 但仅在有限个点处，有 则：函数在此区间内单调递增（或递减）。 例. 求函数 的单调区间. 解: 令 得 故 的单调增区间为 的单调减区间为 问题：若函数的二阶导数不