高等数学随堂讲义函数的极限函数极限概念PPT.pptx

数学分析 第三章函数极限§1 函数极限概念 在本章,我们将讨论函数极限的基本概念和重要性质.作为数列极限的推广,函数极限与数列极限之间有着密切的联系,它们之间的纽带就是归结原理.一、x趋于?时的函数极限二、 x趋于x0 时的函数极限三、单侧极限*点击以上标题可直接前往对应内容x趋于?时的函数极限定义在设函数 f(x)当 x 趋于 时以A为x趋于?时的函数极限当 x 沿着 x 轴的正向上,无限远离原点时,函数f (x)我们就称也无限地接近A,极限.后退 前进 目录 退出x趋于?时的函数极限当趋于时,例如 函数以为极限.10.5趋于?时的函数极限定义1存在若对于任意正数A 为常数.使得记为或者x趋于?时的函数极限④①任意给定③②存在x趋于?时的函数极限例1 证明证 任给取请大家注 数列可视为定义在正整数集上的函数. 比较数列极限定义与函数极限定义之间的相同点与不同点.所以(由定义1),x趋于?时的函数极限例2证任给这就是说x趋于?时的函数极限定义2则称或记为x趋于?时的函数极限定义3存在当或记为x趋于?时的函数极限证明例3证 对于任意正数这就是说x趋于?时的函数极限例4证明证 对于任意正数 ? , 所以结论成立.x趋于?时的函数极限的充要条件是：例如则由定理 3.1，从定义1、2 、3 不难得到:定理3.1 x趋于x0 时的函数极限设函数 f (x) 在点 x0 的某空心邻域 　　　内有定义. 下面我们直接给出函数 f (x) 　时以常数 Ax趋于x0 时的函数极限为极限的定义. x趋于x0 时的函数极限定义1或者x趋于x0 时的函数极限记为 x趋于x0 时的函数极限例5证明分析时, 使 x趋于x0 时的函数极限故取 即可.只要 式就能成立, 因证这就证明了 x趋于x0 时的函数极限例6证明分析要使可以先限制所以因为此时有故只要 x趋于x0 时的函数极限证 有这就证明了 x趋于x0 时的函数极限证明：例7注 在例5、例6中, 我们将所考虑的式子适当放大, 其目的就是为了更简洁地求出 ? , 或许所求出的 ?不是“最佳”的, 但这不影响我们解题的有效性. x趋于x0 时的函数极限证首先，在右图所示的单位圆内,y显然有BDxOCAx故即 x趋于x0 时的函数极限同理可证: x趋于x0 时的函数极限例8证明：则证 因为这就证明了所需的结论. x趋于x0 时的函数极限 1. 对于, 我们强调其存在性. 的不同的方法会得出不同的? , 不存在哪一个更, 那么比它更小的正是不唯一的, 一旦求出了 是任意的,一旦给出,它就是确定的常数.3. 正数在上面例题中, 需要注意以下几点：换句话说,对于固定好的问题.数都可以充当这个角色.有时为了方便,需要让 ? 小于某个正数. 一旦对这样的 ? 能找到相应的 ? , 那么比它大的 ? , 这个 ?当然也能满足要求. x趋于x0 时的函数极限对于坐标平面上以 y =A为中心线, 宽为 的窄带, 使得曲线段4. 函数极限的几何意义如图, 可以找到落在窄带内.单侧极限x 既可以从 x0单侧极限但在某些时候,我们仅需(仅能)在 x0的某一侧来考虑, 比如函数在定义区间的端点和分段函数的分界点等.单侧极限 A定义5时的右(左)则称 A 为函数 f 当为常数. 若对于任意正数? ,极限,记作右极限与左极限统称为单侧极限. 为了方便起见,有时记单侧极限讨论函数 例7 解因为所以单侧极限注试比较定理 3.1 与定理 3.1’.由定义3.4和定义3.5，我们不难得到：定理3.1’不存在.单侧极限例9 证明狄利克雷函数处处无极限.证 则有也有证毕.单侧极限对于黎曼函数例10 证 个 , 因为在 (0, 1) 中分母小于 N 的有理数至多只有故可设这些有理数为单侧极限这就证明了这就是说，除了这 n 个点外 , 其他点的函数值都所以小于 ? . 对以上两种情形都有单侧极限注 有兴趣的读者可以证明：否构造一个函数，它仅在 处有极限.我们已经知道，狄利克雷函数在每点都无极限.能