高等数学12数列极限(含weierstrass定理以及单调递增PPT.ppt

例4 求 解 因为 所以 三.收敛准则 定理2.5 单调有界数列必有极限 单调增，上有界数列必有极限 单调减，下有界数列必有极限 证明： 不仿设数列为单调增加且有上界，根据确 （1） （2） 界存在定理，由 构成的数集必有上确界? ,满足： 因而 于是 ********************* 证: 设数列 是数列 的任一子数列 . 若 则 当 时, 有 现取正整数 K , 使 于是当 时, 有 从而有 由此证明 ********************* 定理2.6 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 . ********************* ********************* 数列的子数列（子列） 由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极 限 , 例如， 发散 ! 则原数列一定发散 . 单调有界数列 必有极限 证明 单调减，下有界 例 5(1) 证明 单调有界数列 必有极限 证明 单调增，有上界 例 5(2) 证明 则 定理2.7（夹逼定理）如果 证 例 6 证明 证 例7 计算 解 定理 2.8 (Weierstrass定理) 有界数列必有收敛子列. 为一有界数列, 则必存在 使得 证: 设 根据单调有界原则， 为了证明定理的结论， 只要在任何情况下都能 从逻辑上看， 则 都有 或 为有限集； 为无限集。 仅有两种情况： 在该数列中找到一个单调的子列就行了。 设 ，或为有限集，则 (1) 若 同理 使 的定义， 大于 如此继续下去， 所以根据 中所有的数.因为 得到 根据 故 为一个无限子集， 设该无限子集中 的元素按严格单调递增的顺序排列为 (3) 若 综上可知在任何情况下定理都是成立的。 是一个收敛子列。 的严格单调递增 子数列，所以 的定义，则有 是 定理2.9（Cauchy收敛原理）数列 极限存在的充要条件是: 存在正整数 N , 使当 时, 证: “必要性”. 设 则 时, 有 使当 因此 “充分性” 证明从略 . 有 柯西 例 设 证明数列 证: 要证 收敛，只要证明它满足Cauchy条件。 由于 柯西 收敛。 所以， 故原数列满足Cauchy 柯西 只要取 则 及 恒有 条件， 所以收敛。 例 设 证明数列 证：要证 发散，只要证明它不满足Cauchy条件， 使 也就是说， 只要证明 就行了， 对于 取 发散。 目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二 、收敛数列的性质 三 、极限存在准则 一、数列极限的定义 第二节 数列的极限 1、割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽 2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 引例 割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 边形的面积 “用已知逼近未知 , 用近似逼近精确” 无限接近 （圆的真实面积） LLLL 一 数列的概念 如果按照某一法则,对每一 对应着一个 确定的实数 则得到一个序列 这一序列称为数列, 记为 第 项 叫做数列 的一般项. 数列举例: 注： 数列 可以看作自变量为正整数 的函数: 数列的极限 观察数列 的变化趋势。 （作为函数，画出的图形） 数列的极限 观察数列 的变化趋势。 数列的极限 观察数列 的变化趋势。 数列的极限 观察数列 的变化趋势。 数列的极限 观察数列 的变化趋势。 数列的极限 观察数列 的变化趋势。 数列的极限 观察数列 的变化趋势。 数列的极限 观察数列 的变化趋势。 数列的极限 观察数列 的变化趋势。 数列的极限 观察数列 的变化趋势。 通过演示实验的观察: 当 无限增大时， 无限接近于 数列的极限 观察数列 的变化趋势。 例如 数列极限的通俗定义 问题: 如何用数学语言刻画它？ 当 无限增大时， 如果数列 的一般项 无限 接近于常数 则称常数 是数列 的极限? 或者称 记为 趋势不定 收敛于 数列 “当 无限增大时， 无限接近于 ”是什么 意思？ 分析 当 无限增大时， 无限接近于 无限接近于 无限变小, 要多小就能多小. 任意给定一个正数(无论多么小)， 当 足够大时， 总能小于事先给定的那个正数. 当 无限增大时， 当 无限增大时， 任意给定一个正数(无论多么小)， 当 足够大时， 总能小于事先给定的那个正数. 增大时， 无限接近于