高等数学1.3数列的极限PPT.ppt

定理1 收敛的数列必定有界. 证 由定义, 注意：有界性是数列收敛的必要条件,但不是充分条件. 推论 无界数列必定发散. 该定理的逆命题不真, 即有界数列不一定收敛. 例如, { (－1) n }. 2.唯一性 定理2 想想, 如何证明它？ 若数列{ xn }收敛, 则其极限值必唯一. 设数列{ xn }收敛, 但其极限不唯一, 不妨设有： 证 运用反证法 任意性 常数 由 ? 的任意性, 上式矛盾, 故 a = b . 3. 唯一性定理的推论 的任何一个子数列都收敛, 且均以 a 为极限 . 充分必要条件 何 谓 子 数 列 ？ 子数列的概念 在数列 {xn}: x1 , x2 , ? , xn , ? 中, 保持各项原来的先后次序不变, 自左往右任意选取无穷多项所构成的新的数列, 称为原数列的一个子数列, 记为 唯一性定理的推论往往用来证明或判断数列极限不存在． 例6 解 取子数列： 例7 解 利用函数的周期性, 在{ xn }中取两个子数列: 四.小结 数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想,精确定义,几何意义; 收敛数列的性质:有界性、唯一性. 重点： ?-N语言应用 思考题 证明 要使 只要使 从而由 得 取 当 时，必有 成立 思考题解答 ~ （等价） 证明中所采用的 实际上就是不等式 即证明中没有采用“适当放大” 的值 从而 时， 仅有 成立， 但不是 的充分条件． 反而缩小为 由均值不等式 或用后面讲的夹逼准则证明 练 习 题 1、割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽 一、概念的引入 1、割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽 一、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 一、概念的引入 * 教学目的和要求：深刻理解数列极限的定义，掌握数列极限的性质，深刻理解x无限增大时函数极限的定义。 知识点：数列极限的定义，数列极限的性质，x无限增大时函数极限的定义。 重点：两个定义及数列极限的性质 难点：x无限增大时函数极限的定义 教学方式：多媒体，讲授 教学思路：通过数列的实例的变化趋势引入数列极限的定义，着重解释如何用精确的数学语言来表达对“无限增大”，“无限接近”这些直观的描述，再由数列极限的定义推广到x无限增大时函数的极限. 一、概念的引入 二、数列的定义 三、数列极限的性质 1.3数列的极限 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： 播放 ——刘徽 一、概念的引入 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 介绍几个数列 xn 0 2 4 2n x1 x2 … … x ????? ????? ????? … … 例1 … xn x2 x1 x 0 x3 … ????? ????? 0 1 –1 x 所有的奇数项 所有的偶数项 x 1 M 3 x 1 x x4 x2 ????? ????? 0 所有奇数项 1 xn x3 x2 x1 x 0 … … … ????? ????? … 注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取 2.数列是整标函数 0 0 1 二、数列的极限 播放 问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定? 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. 通过上面演示实验的观察: 预先任意给定一个正数 ? 0, 不论它的值多么小, 当 n 无限增大时, 数列 { xn } 总会从某一项开始, 以后的所有项 都落在 U(1, ? ) 中. （在 U(1, ? ) 外面只有有限项） 其中, 是描述点 xn 与点 0 无限接近的 度量标准, 它是预先任意给定的, 与{xn}的 极限存在与否无关. 不存在. 1 n ) 1 ( e - - N-1 1+ 由 N 存在与否判断数列的极限是否存在. n N 描述 n ? ?. 通过目标不等式来寻找 N 0 , N = N(?). 不等式 称为目标不等式. 一般地, 如果数列{xn} 当 n ? ? 时, 列{xn