高等数学-第七版-课件-第七章极限7-1 关于实数集完备性的基本定理PPT.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理的等价性 数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 聚点定理与有限覆盖定理 实数完备性基本 定理的等价性 一、区间套定理 在第一章与第二章中, 我们已经证明了实数集中的确界定理、单调有界定理,致密性定理和柯西收敛准则. 上述定理反映了实数的一种特性,这种特性称之为完备性. 而有理数集是不具备这种性质的. 在本章中, 将着重介绍与上述定理的等价性定理及其应用.这些定理是数学分析理论的基石. §1 关于实数集完备性的 基本定理 数学分析 第七章 实数的完备性 二、聚点定理与有限覆盖定理 三、实数完备性基本定 理的等价性 *点击以上标题可直接前往对应内容 定义1 定义1 中的条件1 实际上等价于条件 区间套定理 后退 前进 目录 退出 §1 关于实数集完备性的基本定理 区间套定理 定理7.1（区间套定理） 或者 证 由定义1 的条件1 可知, 数列{an}递增, 所以由单调有界定理, 可知 {an} 的极限存在. 有上界 b1. 区间套定理 从而由定义1 的条件2 可得 因为 {an} 递增, {bn} 递减, 设 ?1 也满足 设 这样就证明了 的存在性. 下面来证明唯一性. 区间套定理 所以 推论 证 由区间套定理的证明可得: 由极限的保号性, 对于任意正数 ? , 存在 N, 则任给? 0, 存在 N, 当 n ? N 时, 设 {[an ,bn]} 是一个区间套, 区间套定理 即 证明过程, 哪一步通不过? 的 区间套定理 作为区间套定理的应用, 下面来证明柯西收敛准则. 即证明数列 {an} 收敛的充要条件是: 对任意的 存在 N, ? 0, 证 (必要性) 区间套定理 区间套定理 区间套定理 由定理1的 推论， 定义2 设 S 为数轴上的非空点集, ? 为直线上的一个定点 (当然可以属于 S, 也可以不属于S). 数 ? ,在 (?? ?, ? +?) 中含有S 的无限个点, 聚点定理与有限覆盖定理 则称? 是 S 的一个聚点. 即 聚点定理与有限覆盖定理 若对于任意正 定义2” 定义2’ 为了便于应用,下面介绍两个与定义 2 等价的定义. 若存在各项互异的收敛数列 若设 S 是 [0, 1]中的无理数全体, S? (称为 S 的导集) 为闭区间 [0, 1]. 则 S 的聚点集合 聚点定理与有限覆盖定理 定义2 ? 定义2? 由定义直接得到. 定义2? ? 定义2? 那么 下面简单叙述一下这三个定义的等价性. 因为 聚点定理与有限覆盖定理 互异,并且 定理7.2（聚点定理） 定义2??定义2 由极限的定义可知这是显然的. 实数轴上的任意有界无限点集必有聚点. 聚点定理与有限覆盖定理 我们再次使用区间套定理来证明聚点定理, 请务必 证 因为S为有界点集, 现将 [a1, b1] 等分为两个子区间 [a1, c1], [c1,b1], 要注意在区间套的构成中所建立的性质 (iii). 所以存在正数 M, 使 个区间含有 S 的无限多个点. 聚点定理与有限覆盖定理 记该区间为[a2, b2]. 再将[a2, b2]等分为两个子区间. 区间含有 S 的无限多个点, 将这个区间记为[a3, b3]. 同样至少有一个子 无限重复这个过程, 就可得到一列闭区间 (iii) 每个闭区间[an, bn] 均含S 的无限多个点. 聚点定理与有限覆盖定理 所以由所建立的性质(iii) 这就证明了? 是 S 的一个聚点. 推论（致密性定理） 证 设{xn}为有界数列, 这些相等的项可成一个子列. 若数列{xn} 不含有无限多个相等的项, 由聚点原理, 可设? 是{xn} 的一个 有界数列必有收敛子列. 收敛于 ? . 那么再由定义 2 ?,可知{ xn } 中有一个子列 若{xn} 中有无限项相等, 取 该子列显然是收敛的. 则{xn}作为 点集是有界的. 聚点, 聚点定理与有限覆盖定理 定理7.2 有一个非常重要的推论(致密性定理).该 定理在整个数学分析中,显得十分活跃. 又因 由极限的不等式性质, 可得 例1 证 聚点定理与有限覆盖定理 例2 用致密性定理证明柯西收敛准则. 证 聚点定理与有限覆盖定理 下面证明 {an} 以 A为极限. 因为 { an } 是柯西列,