高等数学1-2数列极限+收敛数列PPT.ppt

例7 证 由定义, 区间长度为1. 不可能同时位于长度为1的区间内. 由定理1,其极限唯一. 2、有界性 例如, 有界 无界 定义 定理2 收敛的数列必定有界. 证 由定义, 注意：有界是数列收敛的必要条件,但非充分条件,即 推论 无界数列 发散. 收敛 有界 3、保号性 定理3 证 证 反证法, 推论 4、子数列的收敛性 注意： 例如， 在子数列 中，一般项 是第k项 而 在原数列 中是第nk项 显然， nk≥ k 定理4 收敛数列的任一子数列也收敛,且极限相同． 证 证毕． 注: 子列 分别称为 的偶子列和奇子列， 并有： 例7 则 *定理5(致密性定理) 任何有界数列必有收敛的子列 *定理6 对于无界数列　　 而言,则　　 中必有一个子列 小 结 数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 收敛数列的性质: 有界性、唯一性、保号性、子数列的收敛性. 作业 (P30) 1; 3 (3) (4); 6. 思考题 1. 如何判断极限不存在? 方法1. 找一个趋于∞ 的子数列; 方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列. 思考题 证明 要使 只要使 从而由 取 当 时，必有 成立 2. 指出下列证明 中的错误． 思考题解答 ~ （等价） 证明中所采用的 实际上就是不等式 即证明中没有采用“适当放大” 的值 从而 时， 仅有 成立， 但不是 的充分条件． 反而缩小为 （1）割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽 1、概念的引入 （1）割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽 1、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” （1）割圆术： ——刘徽 1、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” （1）割圆术： ——刘徽 1、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” （1）割圆术： ——刘徽 1、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” （1）割圆术： ——刘徽 1、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” （1）割圆术： ——刘徽 1、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” （1）割圆术： ——刘徽 1、概念的引入 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” （1）割圆术： ——刘徽 1、概念的引入 2页 矩形面积和与曲边三角形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边三角形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边三角形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边三角形面积的关系． * up down 二 、收敛数列的性质 一、数列极限的定义 §2. 数列的极限 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” （1）割圆术： 播放 ——刘徽 1、概念的引入 一、数列极限的定义 44页 正 6=3×2 边形的面积 正 形的面积 即, 得一列有次序的面积数: (数列) 进而,需要讨论其变化趋势 (极限) 正 边形的面积 （2）截杖问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭”（庄子天下篇） (数列) (极限) （3）曲边三角形的面积 我们利用阶梯形的面积来 逼近曲边三角形的面积(见下页演示). 即,得一列有次序的面积数: 进而,需要讨论其变化趋势 从以上问题中,抽象出数列、数列的极限的定义. (数列) (极限) 称为无穷数列,简称数列. 从小到大排列的一列数 定义: 如果按照某一对应法则，对每个　　 , 对应一个确定的实数 　　 这些实数 按照下标 对于数列,我们要研究的是: ? 即极限的问题. 2、数列的定义 注意： 1. 数列对应着数轴上一点列. 可看作一动点在数轴上依次取 n O 1 2 3 n 注： 数列是整标函数，