高数2正项级数审敛法PPT.ppt

方法　以此数列为一般项构造一级数，证明此级数收敛，由级数收敛的必要条件，得数列极限为零．由此求数列极限又多了一种方法． 思考与练习 设正项级数 收敛, 能否推出 收敛 ? 提示: 由比较判敛法可知 收敛 . 注意: 反之不成立. 例如, 收敛 , 发散 . 1. 练习 判别级数的敛散性: 解: (1) 发散 , 故原级数发散 . 不是 p–级数 (2) 发散 , 故原级数发散 . 二、交错级数及其审敛法 定义: 正、负项相间的级数称为交错级数. 证明 满足收敛的两个条件, 定理证毕. 收敛 收敛 用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性: 收敛 上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ? 发散 收敛 收敛 解 原级数收敛. 任意项级数 判敛方法：转化为之前的方法。而相关的级数 是正项级数，寻找两者关系？ 定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 级数的主要问题： (1)判敛，(2)求和 正项级数 及其审敛法 一、正项级数及其审敛法 1.定义: 这种级数称为正项级数. 部分和数列 为单调增加数列. 部分和数列特点 回忆：单调数列收敛原理 单调数列有界，则必有极限。 2.正项级数收敛的充要条件: 定理 若 收敛 , ∴部分和数列 有界, 故 从而 又已知 故有界. 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” 问题：寻找更实用的判敛法。 3.比较审敛法 证明 注释： 1. 条件改为?N,当nN时，不等式成立，则相应 结论仍成立。(收敛级数性质3) 2. 条件改为?N,当nN时，un?Cvn，则相应 结论仍成立。(收敛级数性质1) 3. 正项级数 ?un 发散, 则 ?un=+?。 证明 判别下列级数的敛散性： （2）含三角函数的级数常可考虑用比较判别法． 解 由图可知 比较审敛法的不便: 先要估计敛散性，找参考级数. 且不等式不易估计。 重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数. 4.比较审敛法的极限形式: 设 ? ￥ = 1 n n u 与 ? ￥ = 1 n n v 都是正项级数 , 如果 则 (1) 当 时 , 二级数有相同的敛散性 ; (2) 当 时，若 收敛 , 则 收敛 ; 当 时 , 若 ? ￥ = 1 n n v 发散 , 则 ? ￥ = 1 n n u 发散 ; 证明及例 本质意义 证明 由比较审敛法的推论, 得证. 证明 得证. 得证. 注意：比较审敛法的极限形式本质上是两个无穷小比阶，若同阶，则敛散性相同。因此可充分利用等价、同阶无穷小帮助分析． 解 原级数发散. 故原级数收敛. 注意： 在使用比较审敛法及其的极限形式时，需与已知敛散性的级数相比较，而这一比较对象有时不易找到，本质上级数的敛散性应由级数本身的结构决定。因此下面寻找由级数本身特点就能判定其敛散性的方法． 证明 原级数收敛 发散 取? 充分小， 取? 充分小， 比值审敛法的优点: 不必找参考级数. 解 比值审敛法失效, 改用比较审敛法 级数收敛. 解 故原级数收敛。（亦可用比值法。） 总之，（1）这一部分主要内容是级数的相关定义，级数的性质，正项级数的判别法．对一个给定的级数，在判别其收敛性之前，应先分析清楚级数的结构，再选择适当的判别法．这就要求我们熟练记住及运用级数的性质及判别法． （2）通过分析前面的例子，我们看到，熟练运用一些常见极限的结论，能进行灵活的极限运算及等价无穷小运算，对于我们准确地分析级数的敛散性有重要意义．