考研高数总复习数列的极限(讲义)PPT.pptx

1.4 数列的极限yaobx极 限（四个小矩形面积和A4）yaobx极 限（九个小矩形面积和A9）割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽Start正六边形的面积正十二边形的面积正 形的面积1.数列的概念例如数列是整标函数二、数列的定义注意：Start“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.问题:二、数列的定义三、数列极限定义如果数列没有极限,就说数列是发散的.其中几何解释:注意：3.数列极限的定义未给出求极限的方法.数列极限的证明证证数 列 的 极 限3. 数列极限的性质（1） 唯一性定理1 每个收敛的数列只有一个极限.由定义,证故收敛数列极限唯一.（2） 有界性不可能同时位于长度为1的区间内，因此，该数列是发散的.数 列 的 极 限4.数列收敛的准则夹逼准则：夹逼准则：夹逼准则：三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限三、数列的极限Stop一、概念的引入割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、概念的引入割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、概念的引入割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、概念的引入割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、概念的引入割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、概念的引入割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、概念的引入割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、概念的引入割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、概念的引入割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽stop作业P40: 1; 2; 4; 5; 6P79: 19什么是数列呢？按一定的规律。。。。。， 例如。1，1/2， 1/3， 。。。 第n项，也是一般项为1/n， 记作大括号{1/n}， 在比如，1/2， ?， 1/8，第n项也是一般项为1/2^n, 记作大括号{1/2^n}再例如，1，-1，1，-1， 其通项为（-1）的n-1次方。 2， ?， 4/3， 其通项为n+(-1)的n-1次方比上n。 这个通项公式就略微复杂一些。再看一个，根号3， 根号下3+根号3， 等等。。。。 这个数列的通项就无法显性地表示。但从第二项以后，存在递推关系，即an+1=根号下，3+an。但大家要知道，这不是通项。同时，大家需要注意，数列也可以看作是以n为自变量的函数，其定义域为正整数集。因此，数列也是整标函数。表示为：xn=f(n)。在正式介绍数列极限的概念之前，我们先对极限的概念做一些感性的了解。有一些数列，当n无限增大时，xn可以无限地接近某个常数A，如1+（-1）^n-1次方比上n，当n无限增大时，xn可以无限地接近常数1. 这种情况下，我们将这个常数称为数列的极限。也就是，n无限增大时，xn无限接近1，称1是xn的极限。记作。Lim ，n趋于无穷时，xn=1. 或者，xn趋于1，当n趋于无限大时。但这种描述不能算作极限的定义。因为这种描述是含糊的，主要是，当n无限增大时，xn无限接近某个常数A的描述不是很明确。也就是，无限接近意味着什么，如何用数学语言来刻画它。再次考察数列，1+（-1）^n-1次方比上n，第一项为2， 第二项为1/2， 第三项为4/3.。。。。如图，我们会发现如果我们在极限1的上方与下方各做一条与2等距离的直线1+epsilong，与1-epsilong。 距离为epsilong。 不论epislong有多么小，我们总能在数轴上找到一点N（N是正数，未必一定是整数），使得在这个点的右方，数列对应的点（或者说图形），完全位于直线1+epsilong和1-epsilong所形成的水平地形区域内。用数学语言来表示，就是，对任意给定的epislong0, 都总存在N0, 使得当nN时，恒有|xn-A|epislong, 对应我们研究的这个数列来说，极限A就是1.给定epsilon=1/100.。。。。。任意给定epislog 0, 由于，。。 只要取N=1/epsilong，。。。 事实上，这个性质是所有有极限数列都具备的一种量性特征。这种特征反映来极限的本质。据此，我们给出关于数列极限的严格定义（称为e-N定义）定义： 如果对于。。。