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单元小结 第一章 整数的整除性 定义1.1 设 a，b ∈Z ，b≠0，如果存在 q ∈Z ，使得等式 a＝bq成立．我们就说，a能被b整除或b整除a ，记作b | a． 如果整数 q 不存在( 即对任何整数 q，恒有bq ≠a ),那么就说a不能被 b 整除 (或者说b不能整除a)，记作 b ｜a。 1.1整除 1、整除的概念： 如果整数 a 能被整数b (b ≠0) 整除(即b | a)， 那么 a就叫做 b 的倍数，b就叫做a的约数. 2、当然约数与真约数:一般地，在整数a的约数中± l与±a叫做整数a的当然约数；除±1与±a之外，a的其它约数叫做a的真约数(或非当然约数)。 (5) x, y为任意整数，若 a ? b , a ?c , 则a ?(bx+cy)； (6) 若 m≠0, 则a ? b 的充分必要条件是ma ?m b (7) 若a ? b , b ? a，则 a =± b (8) 若 a ，b ∈N+, a ? b , 则a ≤ b (9) 若a是b的真约数，则1＜ ? a ?＜ ? b ? 4、整除的基本性质: 4、带余除法 设a, b是两个整数，b ≠ 0，则一定有并且只有两个整数 q , r 使得 a= bq + r,0≤r︱b︱ 成立，而且q与r是唯一的． 求两个数的不完全商q和余数的运算叫做带余除法运算(或有余数除法运算)． 整除可以看作是带余除法中余数为零的特殊情况． 即a＝bq+r且r＝0 a＝bq. 1、奇数与偶数的定义: 根据整除概念我们把能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数，它们的一般表示式为： 偶数N=2n(n为整数)，奇数N＝2n+l(n为整数)． 二、 奇数与偶数 2、奇数与偶数具有下面性质： 性质1 (关于偶数) (1) 任意个偶数的和(或差)是偶数； (2) 任意一个整数与偶数的积是偶数， 　　特别地，n 个偶数的积是 2n 的倍数（ n∈N+）. 三、数的整除特征一个数被 2 , 5 , 4 , 25 , 8,125,3 , 9 , 7 , 11 , 13 等数整除的特征． (1) 能被 2 (或 5)整除的数的特征是：这个数末位数能被 2 或 5 整除； (2) 能被 4 (或 25 )整除的数的特征是这个数的末两位上的数字所组成的数能被 4 或 25 整除； (3) 能被 8 (或 125 )整除的数的特征是这个数的末三位上的数字所组成的数能被 8 或 125 整除． (4)能被9(或3)整除的数的特征是这个数的各个数位上的数字之和能被9(或3)整除. (5)能被11整除的数的特征是这个数的偶数位上的数字之和与奇数位上的数字之和的差能被11整除. (6)被7,11,13整除的数特征是: 将这个数从个位起从右往左每三位分成一节, 奇数节的数之和与偶数节的数之和, 所得的差能被 7, 11, 13整除. 练习1、整数637693能被( )整除. A 3 B 5 C 7 D 9 2、整数53340□能被11整除, □内是_________ 1.2最大公约数与最小公倍数 1. 最大公约数： ⑴一般地，n个整数的公有的约数，叫做这n个数的公约数，n个数的公约数中最大的一个数，叫做这n个数的最大公约数． 整数a1 ,a2, …,an(n≥2，n∈N)的最大公约数用符号(a1 ,a2 , …,an)来表示． ⑵ 如果两个整数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数，或者说，这两个数互质． （3）n 个数互质 若(a1 ，a2 ， …，an) =1, 那么就叫做这 n 个数互质． 例如，(2，4，9)＝1，我们就说2，4，9这三个数互质． 如果 a1 ，a2 ， …，an ( n≥2) 中的任意两个数 ai, aj ( i ≠ j, I ＝ 1, 2, … , n；j ＝1, 2, …, n) 互质，即 (ai, aj ) ＝1，那么就叫做这 n 个整数两两互质． （4）n 个数两两互质 设a，b为两个任意自然数,ab，如果 a＝bq1+r1 (0r1b)， b＝r1q2+r2 (0r2r1)， r1＝r2q3+r3 (0r3r2)， … rn-3＝rn-2qn-1+rn-1 (0rn-1rn-2)， rn-2＝rn-1qn+rn (0rnrn-1)，