八年级数学竞赛例题专题讲解5：和差化积--因式分解的应用初二数学试题试卷.docVIP

专题05 和差化积 ——因式分解的应用 阅读与思考： 因式分解是代数变形的有力工具，在以后的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，其应用主要体现在以下几个方面： 1．复杂的数值计算； 2．代数式的化简与求值； 3．简单的不定方程（组）； 4．代数等式的证明等. 有些多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉这些结果： 1. ; 2. ; 3. ； 4.； 5. ． 例题与求解 【例1】已知，，那么的值为___________ . （全国初中数学联赛试题） 解题思路：对已知等式通过因式分解变形，寻求a，b之间的关系，代入关系求值． 【例2】a，b，c是正整数，a＞b，且，则等于( ). A. －1 B．－1或－7 C．1 D.1或7 （江苏省竞赛试题） 解题思路：运用因式分解，从变形条件等式入手， 在字母允许的范围内，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称代数式的恒等变形，它是研究代数式、方程和函数的重要工具，换元、待定系数、配方、因式分解又是恒等变形的有力工具． 求代数式的值的基本方法有； (1)代入字母的值求值； (2)代入字母间的关系求值； (3)整体代入求值． 【例3】计算：(1) （“希望杯”邀请赛试题） （2） （江苏省竞赛试题） 解题思路：直接计算，则必然繁难，对于(1)，不妨用字母表示数，通过对分子、分母分解因式来探求解题思路；对于(2)，可以先研究的规律． 【例4】求下列方程的整数解． (1); （上海市竞赛试题） (2). （四川省竞赛试题） 解题思路：不定方程、方程组没有固定的解法，需具体问题具体分析，观察方程、方程组的特点，利用整数解这个特殊条件，从分解因式入手． 解不定方程的常用方法有： (1)穷举法； (2)配方法； (3)分解法； (4)分离参数法． 用这些方程解题时，都要灵活地运用质数合数、奇数偶数、整除等与整数相关的知识. 【例5】已知，，求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3)． 解题思路：先分解因式再代入求值. 【例6】一个自然数恰等于另一个自然数的立方，则称自然数为完全立方数，如27＝33，27就是一个完全立方数．若199519953199519923，求证：是一个完全立方数． （北京市竞赛试题） 解题思路：用字母表示数，将分解为完全立方式的形式即可． 能力训练 A 级 1. 如图，有三种卡片，其中边长为的正方形卡片1张，边长分别为，的长方形卡片6张，边长为的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 ________． （烟台市初中考试题） 2．已知，则的值为__________．（江苏省竞赛试题） 3．方程的整数解是__________． （“希望杯”邀请赛试题） 4. 如果是完全平方式，那么的值为__________． （海南省竞赛试题） 5. 已知()，则的值是( )． A．2， B．2 C． D． 6．当，的值为( )． A. －1 B．0 C．2 D．1 7．已知，，则M与N的大小关 系是( )． A. M＜N B．M＞N C．M＝N D．不能确定 （“希望杯”邀请赛试题） 8．为某一自然数，代入代数式中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是( )． A. 388944 B.388945 C.388954 D.388948 （五城市联赛试题） 9．计算： (1