三步骤解题法在解数列题中的应用.docVIP

“三步骤两环节一反思”解题训练法——数列部分 学习数学，离不开解题，但不完全在于解题的多少，更在于解题前的分析、探索和解题后的深思。我国著名数学专家单墫先生，堪称国内解题大师，他认为习题教学，切忌用繁难的思路、方法，把学生弄得头昏脑涨，茫然不知所措，技巧固然重要，但技巧是为解题服务的，在解题中用不上的技巧就收起来，朴实无华的技巧往往是最高的技巧。笔者在教学过程中总结出“三步骤两环节一反思”解题法注重从基础入手，从简单做起，化繁为简，这其实不单单是一种解决数学问题的方法，还可以更广泛地应用于各个学科以及生活中，这样也就起到了“数学是思维的体操”的作用。 “三步骤”解题的操作程序是：第一步弄清“是什么”，也就是要先读取题中所给已知信息，调取自己的知识库，了解自己有什么知识可用，这些知识的本质是什么，它们有哪些直接联系；第二步弄清“要干什么”，这一步骤实际上是要搞清楚自己的目标在哪里，不至于在解题过程中跑偏无察觉，做完不知道；第三步再说“怎么做”，这一步是建立在前两步的基础上，从已知与目标两方面入手，调用各部分知识、方法技能，综合运用各种信息、知识、技能来解决问题。事实上，中学阶段有许多问题常常只要做好前两个步骤，便能得解。用于对学生思维的训练，“三步骤”解题法是一种易于掌握、易于操作的方法。 “两环节”是指在培养学生的解题能力时，要求学生先以解决问题为目的，再变通达到“一题多解”与“多题一解”的水平。 “一反思”是指题后反思，每次解完一题后，我们的思维不能只是停留在把这道解出来为止。要想训练思维，就必须从解题过程中去反思：本题解法有我不会的知识点吗？我的思维障碍在哪？下一步的改进方向在哪？ 本文以数列部分知识为例，仅说说“三步骤”的应用。 例1：（2009江苏17）设｛an｝是公差不为零的等差数列，Sn是其前n项和，满足a22+a32=a42+a52，S7=7，（1）求数列｛an｝的通项公式及前n项和Sn（2）试求所有的正整数m，使得为数列｛an｝中的项。 ［解析］第一步：搞清楚“这是什么”。首先已知数列｛an｝是等差数列，Sn是其前n项和。与等差数列相关的基础知识都有：（1）定义的两种形式（①当n≥2时，有an－an－1是同一个常数，②当n≥2时，有an－an－1=an+1－an）；（2）通项公式的两种可用形式（①an=a1+（n－1）d②an=am+（n－m）d）；（3）两条重要性质（①若m、n、s、t∈N*，且m+n=s+t，则am+an=as+at，②｛an｝是无穷等差数列，则Sk、S2k－Sk、S3k－S2k……仍然是等差数列）；（4）求和公式的两种形式（①Sn=②Sn=na1+d）；（5）an与Sn之间的关系（an= ）（这5条不仅要求要记住结论，还要理解推理过程）。其次满足a22+a32=a42+a52，S7=7。于是可以与定义联系、与通项公式联系、与求和公式联系。再次观察形式，可以想到移项后用平方差公式，与性质联系。 第二步：搞清楚“要干什么”。本题（1）中是要求数列｛an｝的通项公式及前n项和Sn。对于求等差数列的通项与前n项和，只需知道首项与公差即可。于是很容易找到本题的入手点，根据a22+a32=a42+a52，S7=7就能写出a1与d的关系，求出a1和d。可计算得a1=－5，d=2，代入通项公式与求和公式即可。经过这些分析，就能写出通项公式，也就写出am、am+1、am+2.要使也是｛an｝的项，也就是要使的结果也能用写成｛an｝的通项的形式。 第三步：再说“怎么做”。在前两步中，已经求出a1和d，也写出am、am+1、am+2.代入后，假设是数列｛an｝的第k项，即ak===4(2m－3)－，又∵ak=2k－7∈Z ∴∈Z,即4(2m－3)－∈Z，而m∈Z，∴∈Z，∴m只能等于1或2。当m=1时，ak=－3，由ak=2k－7得：k=2，符合题意；当m=2时，ak=3，由ak=2k－7得k=5，符合题意。 例2：（2009上海13）已知函数f(x)=sinx+tanx，项数为27项的等差数列{an}满足an∈(－，)且公差d≠0.若f(a1)+f(a2)+…f(a7)=0，则当k=____时，f(ak)=0. ［解析］第一步：搞清楚“这是什么”。题中涉及的函数是y=sinx与y=tanx，如果要把相关的函数知识与公式都一股脑呈现在眼前，对于大部分学生来说，一下子还说不清，对于解题来说，也不一定都有用，所以先想图象比较简单，从图中看函数的性质就一目了然了。再往下读题，等差数列｛an｝中的27项都落在了区间(－，)内，且公差d≠0，于是可以在图象上取出x∈(－，)的一段，在这一段x轴上取27个点，使这27个点间的间隔相等。继续读题，f(a1)+f(a2)+…f(a7)=0