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, [学生用书单独成册]) [A.基础达标] 1.在△ABC中,已知a=4,b=6,C=120°,则边c的值是( ) A.8 B.2 C.6 D.2 解析:选D.由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcos C=16+36-2×4×6cos 120°=76,所以c=2,故选D. 2.在△ABC中,若a=8,b=7,cos C=,则最大角的余弦值是( ) A.- B.- C.- D.- 解析:选C.由余弦定理,得c 2=a2+b2-2abcos C=82+72-2×8×7×=9, 所以c=3,故a最大,所以最大角的余弦值为cos A===-. 3.在△ABC中,a,b,c为角A、B、C的对边,且b2=ac,则B的取值范围是( ) A.(0,] B.[,π) C.(0,] D.[,π) 解析:选A.cos B===+≥,因为0Bπ,所以B∈(0,]. 4.在△ABC中,若bcos A=acos B,则△ABC是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形 解析:选B.因为bcos A=acos B, 所以b·=a·. 所以b2+c2-a2=a2+c2-b2. 所以a 2=b2. 所以a=b.故此三角形是等腰三角形. 5.已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(cos A,sin A),n=(1,),若m∥n,且acos B+bcos A=csin C,则角B等于( ) A. B. C. D. 解析:选A.因为m∥n,则有cos A·-sin A·1=0, 即tan A=,A=. 又因为acos B+bcos A=csin C, 所以a·+b·=csin C. 整理,得sin C=1,即C=. 又A+B+C=π,A=,C=,故B=. 6.已知△ABC中,三边a,b,c满足+=,则B=________. 解析:由+=得 (a+2b+c)(a+b+c)=3(a+b)(b+c), 整理得a2+c2-b2=ac,cos B===, 故B=60°. 答案:60° 7.在△ABC中,B=60°,b2=ac,则△ABC的形状为________. 解析:由余弦定理得,b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac 又因为b2=ac,所以ac=a2+c2-ac. 即(a-c)2=0.所以a=c. 又因为B=60°,所以△ABC为等边三角形. 答案:等边三角形 8.在△ABC中,AB=,BC=1,cos C=,则·=________. 解析:在△ABC中,由余弦定理得 AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cos C, 即2=CA2+1-2CA×. 所以CA2-CA-1=0.所以CA=2. 所以·=||||cos(180°-C) =-||||cos C=-1×2×=-. 答案:- 9.在△ABC中,a,b,c分别为A,B,C所对的三边,a2-(b-c)2=bc, (1)求A; (2)若=c=2,求b的值. 解:(1)由a2-(b-c)2=bc,得b2+c2-a2=bc, 则cos A==, 又0Aπ,所以A=. (2)因为==c,则sin C=1,得C=,所以B=, 因为=c=2, 则b=2sin B=2sin=1. 10.在△ABC中,若已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,并且sin C=2sin Bcos A,试判断△ABC的形状. 解:由正弦定理,可得sin B=,sin C=. 由余弦定理,得cos A=. 代入sin C=2sin Bcos A, 得c=2b·. 整理得a=b. 又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab, 所以a2+b2-c2=ab, 即cos C==, 故C=. 又a=b, 所以△ABC为等边三角形. [B.能力提升] 1.△ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,则C的大小为( ) A. B. C. D. 解析:选B.因为p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),p∥q,所以(a+c)(c-a)-b(b-a)=0, 则a2+b2-c2=ab. 由余弦定理,可得cos C===, 因为0Cπ,所以C=. 2.在△ABC中,B=60°,最大边与最小边之比为(+1)∶2,则最大角为( ) A.45° B.60° C.75° D.90° 解析:选C.由题意可知cba,或abc,不妨设c=2x,则a=(+1)x, 所以cos B=, 即=, 所以b2=6x2. 所以cos C= ==, 所以C=45°, 所以A=180°-60°-45°=75°. 3.在△ABC中,内角A,
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