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精品论文 参考文献 由案例说解析几何中优化问题的处理 苏诚 （淮州中学，江苏淮安223300） 解析几何是高考的必考内容之一，而学生对解析几何又往往感到头疼，所以解析几何被视作考试成败的分水岭。在解析几何的教学中，优化问题经常见到。很多同学对于此类问题的处理感到困难，本文就这一问题的处理略作介绍。 一、利用圆锥曲线的定义解决问题 例1：点P在椭圆x2/25+ y2/9=1 上，定点A(2,1)，F 为椭圆的右焦点，则|PA|+|PF| 的最大值和最小值是___________。分析：设F1是椭圆的左焦点，连接AF1并延长交椭圆于P1，P2,如图所示，由椭圆的定义可知，有|PF|+|PF1|=2a=10，所以|PA|+|PF|=10+|PA|-|PF1|。 ① 若|PA| le;|PF1|，则有|PF1|-|PA|le;|AF1| ,所以|PA|-|PF1|ge;-|AF1|。 ②若|PA|gt;|PF1|，则有|PA|-|PF1|le;|AF1|。所以|PA|+|PF|=10+|PA|-|PF1| 的最小值为10-|AF1|=10-姨37 ，即点P 为点P1；最大值10+|AF1|=10+姨37 ，即点P为点P2。 小结：例1 是利用椭圆的定义进行转化，若点P 不在AF1连线上，则利用三角形两边之差小于第三边，说明当点P 是AF1的连线与椭圆的交点时取最值。 二、利用圆锥曲线的统一定义解决问题 例2：在椭圆x24+ y23=1 内有一点P(1,-1)，F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF| 的值最小，则这一最小值为。 分析：通常第一次接触这种类型的题目，我们都会设点M 的坐标，利用两点间距离公式和椭圆方程联立求解。显然，很繁琐。我们知道|MF| 为椭圆的焦半径，故可利用圆锥曲线的统一定义有，|MF|d=e，其中d 为M 到右准线的距离，e 为椭圆的离心率。 所以|MP|+2|MF|=|MP|+2ed=|MP|+d，要使其最小，只要过P 作右准线l 的垂线,垂足为N,垂线交椭圆于M1，即为使|MP|+2|MF|的值最小的M 点。显然，此时最小值为3。 小结：例2 是利用圆锥曲线的统一定义进行转化为已知圆锥曲线内的点到准线的距离最短。 三、利用对称性解决问题 例3：已知直线l:3x-y-1=0，在l 上求一点P,使得： （1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差的绝对值最大。 （2）P到A（4，1）和C(3，4)的距离之和最小。分析：如果直接设点P利用距离公式化简???将相当复杂。所以我们采用对称的观点来解决。设A 关于l的对称点为A1，易求得A1 （-2，3）。 （1）连接A1B 交l 于点P，即为所求。易求得P（2，5）,因为A 关于l 的对称点为A1，所以|PA|=|PA1|，此时有||PA|-|PB||=||PA1|-|PB||=|A1B|。 因为在l 上取异于点P 的点P1，|P1A|=|P1A1|，又||P1A|-|P1B||=||P1A1|-|P1B||lt;|A1B|。 （2）连接A1C 交l 于点P，即为所求。易求得P( 11/7，26/7)，此时有|PA|+|PC|=|PA1|+|PC|=|A1C|，因为在l 上取异于点P 的点P1有|P1A|+|P1C|=|P1A1|+|P1C|gt;|A1C|。小结：利用点关于直线的对称点可以很迅速地解决上述问题。另外，通过观察我们还能得到，两点在直线的同侧，应该是和最小；两点在直线的异侧，应该是差的绝对值最大。 四、利用几何意义解决问题 （1）利用直线的斜率 （2）利用两点间的距离 例5：已知A(-2,0),B(2,0)，点P 在圆(x-3)2+(y-4)2=4 上运动，则PA2+PB2的最小值是。 分析：设P（x,y），则PA2+PB2=(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=2(x2+y2)+8，而x2+y2可看作是圆上点（x,y）到原点距离的平方。又圆上点（x,y）到原点距离的最小值是圆心到原点的距离减去圆的半径，即（3-0）2+（4-0）2 姨-2=3。所以x2+y2的最小值是9，所以PA2+PB2的最小值是26。 小结：利用直线的斜率与两点间距离来解决一些问题，可使问题变得简单，省去了很繁琐的计算。 解析几