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精品论文 参考文献 由一道习题展开的探究 江苏高邮市三垛中学 陈传勇 椭圆可以视为对圆上的点向同一条直径施行伸缩变换而成．运用椭圆与圆之间的这种关系，你能根据圆的面积公式来猜想椭圆的面积公式吗？ 通过师生对上道习题的共同研究，同学们认识到椭圆、双曲线、抛物线都可以看作是圆按照某种方式演化的结果．这时教者不失时机的引导他们：既是这样，那么圆的弦和切线的诸多性质，例如：（1）圆的弦的中点与圆心的连线与该弦互相垂直；（2）过圆x2+y2=r2上一点(x0,y0)的切线方程为xx0+yy0=r2；（3）构成圆周角是直角的两条弦的斜率之积为-1，即设P，A，B是圆 上的三点，如果 ，则A、O、B三点共线．反过来，如果A、O、B三点共线，则kpa.kpb=-1 等．通过类比迁移到圆锥曲线，又会得到什么样的结论呢？上述问题问得新奇，问题的结论应该是肯定的，而课本中又无解释，立即引起学生一探其究的强烈欲望．经过各小组充分讨论，汇总为以下几个问题： 问题1 椭圆 （a gt; b gt; 0）的弦AB垂直于椭圆的一条对称轴时，则弦中点M与椭圆中心O的连线OMperp;AB，若不然则它们的斜率有 kAB.KOM=? 问题2 双曲线 （a gt; 0，b gt; 0）的弦AB垂直于双曲线的一条对称轴时，则弦中点M与双曲线中心O的连线OMperp;AB，若不然则它们的斜率有 KAB.KOM=? 问题3 过椭圆 上的一点T（X0,Y0 ）（x0ne;plusmn;a）的切线L 的方程？ 问题4 过双曲线 上的一点T（X0,Y0 ）（x0ne;plusmn;a）的切线 的方程？ 问题5对椭圆 ，设A、B是椭圆在x轴上的两个顶点（椭圆的一条特殊的直径），P(X0,Y0) 中椭圆上异于A，B的任一点，则kpa.kpb=？ 对双曲线，结论又如何？ 带着这几个问题，师生共同探究： 命题1：是椭圆 ////的任一弦线（与坐标轴平行的弦除外，以下同略）的斜率与中心和弦中点连线斜率之积． [略证]设直线l交椭圆两点为A（x1,y1 ），B（x2,y2 ），AB中点为G，则G（） ，由A，B在椭圆上可得： 显然，当直线l与椭圆相切时，G就成为切点，故有： 推论1：是椭圆 /的任一切线斜率与中心和切点连线斜率之积． 命题2： 是双曲线 \的任一弦线斜率与中心和弦中点连线斜率之积． 证明原理同命题1（从略），同样，当弦线成为切线时，其中点G就为切点，故仍有： 推论2： 是双曲线 的任一切线斜率与中心和切点连线斜率之积． 命题3 过椭圆上的点T（ x0y0）的切线l 的方程． 命题4 过双曲线 上的点T（xoyo ）（非顶点外任一点）的切线l 的方程．（推导从略） 命题5：设， 为椭圆 上的三点，其中O为椭圆的中心，如果定义AB是椭圆的一条直径（A、O、B三点共线），则 ，反过来，如果，则A、O、B三点共线（AB是椭圆的一条直径）． [证明]：设， 为椭圆 上的三点，因为AB过中心O，所以 x2=-x1,y2=-y1，即B点坐标为B(-x1,-y1) ． 反之，设p(x0,yo)A(x1,y1)B(x2,y2) ， 为椭圆 上的三点，kpa.kpb 存在且 则 ， 由已知 所以 又与（*）式比较得： 化简得： 故三点p(x0,y0)A(-x1,-y1)B(x2,y2) ， 共线l，又因为A(-X1,-Y1) 在椭圆上，所以点 A(-x1,-y1)与B(x2,y2) 重合，显然 A(x1,y1)与 A(-x1,-y1)关于原点对称，故弦AB过中心O，即AB为椭圆的一条直径． 类似可证，对于双曲线，也有类似的性质： 命题6：设， 为??曲线 上的三点，其中O为双曲线的中心，如果定义AB是双曲线的一条直径（A、O、B三点共线），则 ；反过来，如果 ，则A、O、B三点共线（AB是双曲线的一条直径）（证明同上略） 教学启示： 1．这一堂探究课通过由圆的性质类比迁移到圆锥曲线，得到了许多有用的结论，学生既扩大了知识面，又增强了学习数学的兴趣，得到了数学美的熏陶．它以课堂为起点，又把课堂向外延伸、扩展；它以教材为基础，又从教材中走出