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* Part three 动力学 第九章 质点动力学的基本方程 牛顿三定律 1. 第一定律(惯性定律)：不受力作用的质点，将保持静止或做匀速直线运动。 2. 第二定律（力与加速度之间的关系定律）：质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向和力的方向相同。 3. 第三定律（作用与反作用定律）：两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。 §9-1 动力学的基本定律 注意： (2)质量越大其运动状态越不容易改变，也就是质点的惯 性越大，因此质量是惯性的度量。 (1)当多力时， 是汇交力系的合力。 三个定律只适用于惯性参考系。一般的工程问题，把固定于地面的坐标系或相对于地面作匀速直线运动的坐标系作为惯性参考系。 (3)重力： (4)力的单位： N 、KN §9-2 质点的运动微分方程 当质点受到多力作用时，力与加速度之间的关系为： 矢量形式的微分方程，在实际问题中用投影形式。 或 (1)设矢径 r 在直角坐标轴上的投影分别为x、y、z，力Fi 在轴上的投影分别 Xi、Yi、Zi 则在直角坐标上的投影形式为： (2)质点运动微分方程在自然轴上投影为： —轨迹法线方向单位矢量 —轨迹切线方向单位矢量 —轨迹的曲率半径 2 质点运动微分方程在自然轴系上的投影式为： —合力在切线方向上的 投影 —合力在主法线方向上的投影 —合力在副法线方向上的投影 §9-3 质点动力学的两类基本问题 第一类：已知质点的运动，求作用于质点的力 第二类：已知作用于质点的力，求质点的运动 求导，代入微分方程 积分，求积分常数 例：在 F 力作用下质点 m 在平面内作椭圆运动，已知其运动方程。 求作用在m上的力。 解： 力在坐标轴上投影，有： 例: 小球质量为m，悬挂于长为l的细绳上，绳重不计。小球在铅锤面内摆动时，在最低处的速度为v；摆到最高处时，绳与铅锤线夹角为φ，如图所示，此时小球速度为零。试分别计算小球在最低与最高位置时绳的拉力。 flash 小球作圆周运动，受有重力p=mg和绳拉力，球在最低处有法向加速度： 由质点运动方程沿法向的投影式，有： 则绳拉力： 解： 球在最高处时，速度为零，法向加速度为零， 有： 则得绳拉力： 其运动微分方程沿法向投影式，有： 例9-3(类似)：圆锥摆，摆球质量m=1kg，绳长l=50cm。摆球在水平面作匀速圆周运动，?=30?。求摆球的速度和绳的拉力。 解： 已知运动求力是第一类问题。 取自然坐标投影形式： 法向： 切向自然满足： 副法线方向： 又： 得： 例：重量为G的小球M以匀速Vr沿直管运动，直管以匀角速度?绕Z轴转动。求小球对管壁水平方向的侧压力。 解： 小球受重力G，约束反力Nz、Nx，摩擦力F，要求Nx。 需求加速度，选M为动点，AB为动系。 得： 解动力学第一类问题步骤： (1)选定某质点为研究对象； (2)分析作用在质点上的力，包括主动力和约束反力； (3)分析质点的运动情况，计算质点的加速度； (4)根据未知力的情况，选择恰当的投影轴，写出在 该轴上的运动微分方程的投影式； (5)求出未知的力。 解：依题意，建坐标，有： 例：如图，物体M自O点以速度v0 与水平成 角抛出，求M点的运动规律及轨迹。 当t=0时： 得： 所以： 当t=0时： 得： 有： 消去t得： 例：为扑灭高21m楼顶上火，水龙头置于离墙基15m，离地面高1m处，水柱初速V0=25m/s，如欲使水拄正好越过楼顶边缘A，仰角应为多少？水射到楼顶上的距离S为多少？ 解： 由运动微分方程，有： t=0时，有： t=0时，x=y=0，得C3=C4=0，所以有： 求?，需知运动轨迹， 在运动方程中消去t，得： 水柱越过A时，x=15、y=20，有： 得： 解得?为61.69?和81.45?， 81.45?不是要求的， ?=61.69? 求S其实是求B点坐标，由运动方程可得 y=20 的时间： 得t=1.266s和3.22s， 1.266是水到达A的时间 故t=3.22s 例9-2：质量为m的小球以水平速度V0射入水中，阻力与速度的方向相反， ,不计浮力，试分析运动。 解： 分离变量，有： t=0 时，Vx=V0、Vy=0，得 C1=mlnV0、C2=-mlnmg/? 再积分，并有t=0时,x=0、y=0 由： 及： 可知，t??时，Vx?0，Vy? c=mg/? 以极限速度等速铅垂下落 重力等于阻力 解动力学第二类问题步骤： (1)选定某质点为研究对象； (2)分析作用在质点上的力，包括主动力和约束反力； (3)分析质点的运动情况，计算