过已知点与缓和曲线正交直线的求法及应用研究.pdfVIP

过已知点与缓和曲线正交直线的求法及应用 北京市政集团一公司 王景海 1．引言 道路中心线的线形一般为直线、圆曲线、缓和曲线几种形式的组合。当问及中心线外 一点相当于道路桩号是多少，距路中距离为多少，若此时道路中心线为直线或圆曲线，上 述问题不难解决。但若此时道路中心线为缓和曲线时，问题就会出现了：根据已知条件得 到的方程是关于缓和曲线长度的高次方程，一般施工单位的测量人员囿于数学知识的限 制，对此往往束手无策。笔者在实际测量工作中也多次遇到上述问题，并通过迭代的方法 解决了上述问题。而且，在实际工作过程中灵活的应用这种方法，会提高工作效率，给工 作带来方便。 2．问题的解决算法 上述问题可以归纳于如下：求通过已知点的直线与缓和曲线(道路中心线)正交问 题，更有普遍性可以归纳为：求通过已知点的直线与缓和曲线段道路边线正交问题，见图 1所示。(这里我们的讨论均在缓和 ， 曲线自身独立坐标系中进行，统一 坐标系中坐标与其可以通过旋转、 平移转换得到) 点P。(髫。，y．)为道路中心 §／ ◆j 线外一已知点，道路半幅宽为D， 一，0 ： 过点P。(算。，y，)与道路内边线 ／?≮ 正交的直线与内边线的交点为P： 、．日(1，H) (菇：，Y：)，与道路中心线的交点为 P(菇，Y)，则点P：(菇：，Y：)坐标可表 图l 示为： 戈2=石一Dsinfl (1) Y2=Y+Dcosp (2) 0时，P：即相当于与道路外边线的交点。因此，仅讨论与道路内边线正交的情况就可 以了。因为是正交，我们可以列出如下方程： (Y2一Y1)，(髫2一菇I)×tgp=一1 (3) lll 整理得： 戈2=戈l+tg／3(Yl—Y2) (4) 我国缓和曲线采用回旋线，点P(∞，Y)坐标的参数方程可表示为： 并=1—1 5／(40A4)+19／(3456A8) (5) 2)一17／(336A6) (6) Y=13／(6A 缓和曲线角 口：12／(2A2) (7) 式中1为P点到缓和曲线原点的曲线长度，A为缓和曲线参数。戈、Y的表达式均为 无穷级数形式，这里我们对聋取前三项，Y取前两项，一般就能满足工程精度要求。 式(4)是关于1的高次方程，现在的问题是如何求出1值，将(4)式改写成下面形 式： 1=1+(戈l—z2)+tgp(Yl—Y2)(8) 用(9)式求出的1都将逼近于1。。将新求出的1代入(9)式，如此反复迭代，当前后 两次求出的1值之差的绝对值小于任给任意小正数￡时，迭代即告结束，此时的1值即可 认为是真值1’。而且，从理论上也可以证明采用(9)式这种迭代形式是收敛的，有兴趣 的读者可参见参考文献[2]。 ， 潞 y 谢 7一口 么W，} ，／ —．一一9i 0