射影变换学习辅导（二）.docVIP

第4章 射影变换学习辅导(2) 典型例题 例1 填空题 （1）两线束间的射影对应是透视对应的充分必要条件为 . （2）两点列间射影对应由 对对应点唯一确定. （3）共线四点的交比是 不变量. （4）两个点列经过中心投影， 不变. （5）不重合的 对应元素，可以确定唯一一个对合对应. 解 （1）由定理知，两线束间的射影对应是透视对应的充分必要条件是：两个线束的公共线自对应. （2）已知射影对应被其三对对应点所唯一确定，因此两个点列间的三对对应点可以决定唯一一个射影对应. （3）共线四点的交比是射影不变量. （4）两个点列经过中心投影，交比不变. （5）不重合的两对对应元素，可以确定唯一一个对合对应. 例2 单选题 （1）若（AB,CD）=r，则（DB，AC）=（ ） A. B. C. D. （2）设A，B，A +λ1B，A +λ2B是四条不同的有穷远共点直线l1，l2，l3，l4的齐次坐标， 则（l1l2，l3l4）=（ ） A.λ1 B.λ2 C. D.λ1λ2 （3）设1，2，3，4是四个不同的共线点，如果 （12，34）=（23，41）则（13，24）=（ ） A.－1 B.1 C.0 D.∞ 解 由交比的运算定理，（1）选D；（2）选C（3）选A 例3 求证P1（3，1），P2（7，5）与P3（6，4）， P4（9，7）成调和共轭. 分析 可以采用非齐次坐标与齐次坐标两种方法进行证明 解法1 (P1P2，P3P4)===-1 解法2 将P1，P2，P3，P4写成齐次坐标，则 P1（3，1，1），P2（7，5，1），P3（6，4，1）， P4（9，7，1）可以写作 P3（24，16，4），P4（-18，-14，-2） 于是 P3 =P1 +3P2 P4 =P1 -3P2 ∴(P1P2，P3P4)==-1 例4 求证：一角的两条边与这个角的内外角平分线调和共轭. 证法1 利用共点直线成调和共轭的定义进行证明. 如图4-6所示，角的两边为A，B，其内外角平分线分别为l1，l2 (AB，l1l2)= （ABl1）=1 （ABl2）= -1 ∴ (AB，l1l2) = -1 S A B l2 l1 A B 图4-6 证法2 用代数法 设取原点在三角形SAB内部，A×B分别在A，B直线上. 设SA的法线方程为， 设SB的法线方程为， 为了求内角分线l1和外角分线l2方程，利用角平分线的几何特性，设P（x，y）为角平分线l1上的任一点，则它们到A，B的距离相离，即=或或 取l1为即，即 l2为即，即 ∴( AB，l1l2)= 证法3 根据定理，如图4-7，若用直线l1 // l2求截角的两边A，B分别交A，B于A，B，交l1于T1，交l2于T，则由l1和l2互相垂直，可知ST1⊥l1，又l1为角平分线，由初等几何定理，可知△SAB为等腰三角形，且有AT1=T1B，即T1为AB中点，根据定理知 (AB，T1T)=-1 (AB，l1l2 )=-1 S A T1 B l A l1 B 图4-7 例5 若A，B，C，D为共线四点，且（AB，CD）=-1，CD中点为O，求证OC2=OA·OB 证明 (AB，CD)= 即AC·BD+BC·AD= 0 把AC，BD，BC，AD都以0为原点表示，则有（OC-OA）（OD-OB）+（OD-OA）（OC-OB）= 0 整理得 2（OA·OB+OC·OD）=(OA+OB)(OC+OD) 而 OD=-OC ∴ 2(OA·OB-OC2)=(OA+OB)(OD-OC)=0 即 OC2=OA·OB 例6 设三直线 求证以p1= 0，p2= 0，p3= 0为三边的三角形的重心由方程给出. A l3 p1