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《机械振动学》习题解答（二） 陈一凡 邮箱 chenyifan0607@ 电话 189 172 17582 此课件已上传至 用户名 yfchen 密码 public 2012-04-13 y滞后于 的相位差 4－1 如图所示，质量为 m 的油缸与刚度为k的弹簧相连，通过阻尼系数为 c 的黏性阻尼器以运动规律 y = A sin ωt的活塞给予激励，求油缸运动的振幅以及它相对于活塞的相位。 解：设油缸位移为 x，活塞位移为 y，对油缸建立方程 即 x的振幅 x滞后于激励 的相位差 y c m k x 所以 y 与 x 的相位差 4－2 如图所示，质量可忽略的直角刚性杆可绕铰链O自由转动，弹簧一端有简谐位移扰动 A cos ωt 。试导出系统的振动微分方程，并求系统的稳态响应。 解：设刚性杆向顺时针方向转动θ角，对刚性杆用动量矩定理 c m k A cos ωt mg a L θ 由 化简得微分方程 微分方程 稳态响应 其中 或 其中 4－3 求弹簧-质量系统在库仑阻尼和简谐激励力 F0 sin ωt 作用下的振幅。在什么条件下运动能继续？ 解：库仑阻尼的等效阻尼系数 振幅 上式可化简为 要使运动能继续，X不能为虚数，所以 4－5 带结构阻尼的单自由度系统，若刚度和阻尼的作用可用复数形式 表示，系统的等效质量为 m，求系统在简谐激励下的响应。 解：系统的微分方程为 设系统的稳态响应 ，代入上式得 解得 4－7 弹性支承的车辆沿高低不平的道路运行可用图示单自由度系统模拟。若每经过距离为 L 的路程，路面的高低按简谐规律变化一次，试求出车辆振幅与运行速度 v 之间的关系，并确定最不利的运行速度。 解：将路面看成简谐激励，其周期 ，则角频率 系统方程为 稳态响应 振幅 系统发生共振时为最不利的情况 4－8 图示系统中，集中质量 m = 20 kg，弹簧刚度 k = 3.5 kN/m，阻尼器的黏性阻尼系数为c = 0.2 kN·s/m，凸轮的转速为60r/min，行程为0.01m。试求系统的稳态响应。 解：设凸轮的行程为a，则一个周期内凸轮的位移可表示为 ，并由题意知：a = 0.01m，周期τ = 1s。 将x0(t)展开为Fourier级数 其中 所以 系统的微分方程为 即 于是稳态响应 4－9 一个弹簧-质量系统从倾斜角为30°的光滑斜面下滑。求弹簧从开始接触挡板到脱开挡板的时间。 解：弹簧接触挡板后，质量块做无阻尼自由振动，以弹簧平衡位置为原点，其运动方程及其解分别为 式中其中x0为弹簧自由长度相对于静平衡时长度的改变量。 令 ，则 弹簧从接触挡板到脱离的时间为 ，如图所示。 τ 2τ 0 x0 另一种解法：将此简谐运动写作式中由图可见，弹簧从接触挡板到脱离的时间为 5－5 机器质量为453.4kg，安装时使支承弹簧产生的静变形为5.08mm，若机器的旋转失衡为0.2308kg·m，求：①在1200 r/min时传给地面的力；②在同一速度下的动振幅。 解：旋转失衡的微分方程为 ②振幅 其中 所以①传给地面的力 5－6 如果题5-5的机器安装在质量为1136kg的大混凝土基础上，增加基础下面弹簧的刚度，使弹簧静变形为5.08mm，则动振幅将是多少？ 解：频率比 振幅 5－7 质量为113kg的精密仪器通过橡皮衬垫装在基础上，基础受到频率为20Hz、幅值为15.24cm/s2的加速度激励，设橡皮衬垫有如下参数：k=2802N/cm，ζ=0.1，问：传给精密仪器的加速度是多少？ 解：微分方程 位移传递率 式中 加速度传递率 所以 5－9 机器重2500kN，弹簧刚度k=800kN/m，阻尼比ζ=0.1，干扰力频率与发动机转速相等。试问：①在多大转速下，传递给基础的力幅大于激振力幅；②传递力幅为激振力幅20%时的转速是多大？ 解： ①力传递率 于是 故最大转速为②力传递率 于是 转速 5－10 一仪器要与发动机的频率从1600到2200r/min范围实现振动隔离，若要隔离85%，仪器安装在隔振装置上时，隔振装置的静变形应为多少？ 解：根据传递率与频率比的关系曲线，要在[r1, r2]的频率区间内使隔振达到85%，只要在r1时传递率Tr＜0.15即可。 5－11 悬挂系统的固有频率为0.5Hz，箱子从0.5m高处落下，求所需的振荡空间。 解：设x为质量m的绝对位移，y为箱子的绝对位移，z为质量m相对于箱子的位移，当箱子做自由落体运动