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2008年全国高中数学联赛四川赛区初赛试题 一、选择题(本大题满分30分，每小题5分) 设集合，则集合的非空真子集的个数为 （ ） （A）13 （B） 14 （C） 15 （D） 16 在公差为4的正项等差数列中，与2的算术平均值等于与2的几何平均值，其中表示数列的前三项和，则为 （ ） （A）38 （B） 40 （C） 42 （D） 44 某学校的课外数学小组有8个男生和6个女生，要从她们中挑选4个组成代表队去参加比赛，则代表队包含男女各2人的概率为 （ ） （A） （B） （C） （D） 设有一个体积为54的正四面体，若以它的四个面的中心为顶点做一个四面体，则所作四面体的体积为 （ ） （A）1 （B） 2 （C） 3 （D） 4 已知椭圆的左顶点为，右焦点为，点为椭圆上的一点，则当取最小值的时候，的值为 （ ） （A） （B）3 （C） 5 （D） 设则的最小值为 （ ） （A） （B） （C） 1 （D） 二、填空题（本大题满分30分，每小题5分） 函数的最小值为__________________ . 函数对任意的满足，且，则＝ 设数列满足：，则的最大公约数为________________ . 已知正实数满足，则的最小值为___________ 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有 _______ 种。 数列、满足：，且，则＝_________. 三、解答题（本大题满分80分，每小题20分） 13、是否存在一个二次函数，使得对任意的正整数，当时，都有成立？请给出结论，并加以证明． 14、设是抛物线的焦点，橙子奥数欢迎您，为抛物线上异于原点的两点，且满足．延长分别交抛物线于点（如图）．求四边形面积的最小值． 15、已知⊙与的边分别相切于和，与外接圆相切于，是的中点（如图）求证：． 16、已知，，其中正整数． （1）求证：对于一切的正整数，都； （2）求的最小值，其中约定． 2008年高中数学联赛四川赛区初赛试题 参考答案及评分标准 一、选择题(本大题满分30分，每小题5分) 1、B 2、A 3、C 4、B 5、B 6、C 二、填空题（本大题满分30分，每小题5分） 7、8 8、 9、3 10、 11、108 12、 三、解答题（本大题满分80分，每小题20分） 13、解：存在符合条件的二次函数． …5分 设，则当时有： ①； ②；③． 联立①、②、③，解得．于是，．10分 下面证明：二次函数符合条件． 因为， 同理：； …15分 ． 所以，所求的二次函数符合条件． ……20分 14、解：设，由题设知，直线的斜率存在，设为． 因直线过焦点，所以，直线的方程为． 联立方程组，消得 由根与系数的关系知：， ……5分 于是 　　　　 ……10分 又因为，所以直线的斜率为， 从而直线的方程为：，同理可得 ．……15分 故 当时等号成立．所以，四边形的最小面积为32． ……20分 15、证明：如图，连结．∵ 分别与⊙相切于 ∴ ∵和都是⊙的半径， ……5分 ∴ 由对称性知，且于．∴ ，即 ……10分，又∵，∴∽∴ ……1分 过作两圆的公切线，则，又∵，即 ∴ 故． ……20分 16、（1）证明：对于一切的正整数， ．5分 （2）由不等式知 ……10分 ……15分 当时，等于成立，所以有最小值 ．…20分 1 2 3 4 5 6 7 8 9