浅议正余弦定理在三角形中的应用.docVIP

精品论文 参考文献 浅议正余弦定理在三角形中的应用 谷振兴（项城市中等专业学校 河南 周口 466200） 中图分类号：G712 文献标识码：A 摘 要：正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，在数学中涉及到边角之间的等式问题或不等式问题都可考虑能否应用正弦定理或余弦定理求解。应用定理可使数学中的代数问题几何化，几何问题代数化，在有关边角问题的解题中，常常能出奇制胜。 关键词：正弦定理 余弦定理 在解决三角形的边角问题时，灵活运用正弦定理和余弦定理，可使问题化繁为简，化难为易从而使问题得到解决，下面以几道例题为例，举例说明它们在解题中的妙用。 例1 在 中，已知 ，那么 一定是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 解法1：由 ＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB， 即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故选（B）。 解法2：由题意，得cosB= 再由余弦定理，得cosB＝ there4; 即a2＝b2，得a＝b，故选（B）。 评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：（1）统一化为角，再判断(如解法1)；（2）统一化为边，再判断(如解法2)。 例2 在 中，若 ， cm， cm，则 的面积是多少？AC边的高是多少？ 分析：本题只需由余弦定理，求出边AC，再运用面积公式 即可解决。 解：由余弦定理，得 解得AC＝3。 既 的面积为 ，AC边的高是为 * 例3 如图， 甲船在A处，乙船在A处的南偏东45deg;　 方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西15deg;方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？ 解析：设用t h，甲船能追上乙船，且在C处相遇。 在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9， 设ang;ABC=alpha;，ang;BAC=beta;。 there4;alpha;=180deg;－45deg;－15deg;=120deg;。 根据余弦定理 ， there4;beta;为锐角， there4;甲船沿南偏东 的方向用 可以追上乙船。 点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解。 例4 在Delta;ABC中，已知 AC边上的中线 求sinA的值。 解析：本题关键是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA。 解：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且 设BE＝x 在Delta;BDE中利用余弦定理可得： 解得 故BC=2，从而 即 又 例5 求证： 证明 ： 　　 即 [来源:Z。xx。k.Com] 又 [来源:学，科，网] 　　 例6 在△ABC中，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且满足条件 求A和tanB的值。 解：由余弦定理 得 在△ABC中 由正弦定理， 解得 从而 点评：正弦定理、余弦定理是解三角形的主要工具。本题给出两个等式，这就要求对照定理的特点进行灵活变形。 例7 设 分别是 的三个内角A，B，C 所对的边，则 是A=2B的充要条件。 解析：a，b，c设分别是 的三个内角 所对的边，若 若△ABC中， A=2B，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到