由一例题看如何求轨迹方程 【摘要】 本文对一题练习题进行了聚焦 ....docVIP

由一例题看如何求轨迹方程 【摘要】 本文对一题练习题进行了聚焦，从中整理出了一些对轨迹题的常用思路及做法，帮助学生进一步掌握和熟练运用求轨迹方程的常用方法，培养思维的灵活性和严密性。有人认为：解析几何的特点是大家都会做，就怕做不到底。确实运算是烦琐的，这里不仅考验了学生的知识面，也要求非常严谨、细致的中间过程，充分体现了数学的细腻之美。 【关键词】 直线 圆 轨迹 直接法 代入法 参数法 几何法 弦长 【正文】期中复习期间，有例求轨迹的题目难倒了不少学生，原题为：已知点在圆上，点在射线上，且，求点的轨迹方程 解法（一）： 分析：由于直线和圆都过原点，联立方程容易求得点的坐标，进而由弦长公式，就可以表示出来，点坐标建立好之后，同理也能表示出来，利用条件列出等式，化简即可。 解：如图（一） 设，于是 ，又设，则 ，而，由 ，又，代入得，由于圆在直线的左上方，于是①，当斜率不存在时，同样满足，所以①即为所求点的轨迹方程。 说明： （1）、当学生拿出方程时，会忽视掉符号的问题，但是由线性规划的知识，不难得出正确的答案 （2）、为了解题过程的严密性，斜率不存在的情况应该给予解释 当遇到直线和圆相交的题时，设直线方程来得到有关交点坐标的表达式是老师与学生都比较常见的做法。 解法（二）： 分析：数学解题中“设而不求”的思想很常见，本题若直接设出和轨迹点的坐标，则题中所含的等量关系均可以表示，形组成方程组，只需消去和轨迹点无关的元即可。 解： 设，则，由（1）和（2）解得，代入（3）得，同理去绝对值得。 若由（1）和（3）联立，则，代入（2），得。 说明： （1）、消元是求轨迹方程的重要工具之一，求轨迹方程很多时候会产生除轨迹点外其他的量，这时我们要找准方向，目标明确，哪些量是多余的，在多个等量关系中就是要消去这些量。 解法（三）： 分析：设出点的坐标之后，进而能得到直线的方程，由圆中的弦长公式即能求得的表达式 解：如图（二），设，则 又，其中为圆心到的距离，则 ，由代入得，同样由区域决定了 说明： （1）、此为求轨迹方程最基本的思想，设出轨迹点的坐标，之后寻求等量关系，直接建立等式，这实际上是利用了直接法在求轨迹方程，只是它的等量关系比较隐蔽，需利用点到直线的距离才能发现。 直接法是求轨迹最常用的方法之一，直接利用轨迹点的坐标列出等量关系。课本上有很多例子，如：已知一曲线是与两个定点距离之比为的点的轨迹，求此曲线的方程。对于等量关系不太好找的，可以考虑代入，将轨迹点转移到和它相关的点，通常相关点会有明确的等量关系，如下解。 解法（四）： 分析：由题意，在点运动过程中，点随之运动，但是点始终落在已知圆上。于是设出点的坐标，根据点之间的联系表示出点的坐标，再将其代入点满足的关系式，这一方法的本质就是代入。 解：设，由于，而，所以，将点坐标代入圆方程，化简得到 说明： （1）、与解（二）里第二种方法相似，本质一样，思考的角度不同 波利亚指出：“如果你不能解决所提的问题，可尝试先去解决某个与此有关的辅助问题，一个更易着手的特殊问题，这正像小河当中正好有块合适的石头可作为临时的踏脚石，我们用两步过河一样．” 本题中，当生成轨迹的动点的方程不易求得时，就改换目标，先去寻求与有着密切关系的动点的曲线的方程（踏脚石），再转化为用代入法求点的轨迹． 此种解法也比较常见，课后习题中经常能碰到，如：经过圆上任一点作轴的垂线，垂足为，求线段中点轨迹的普通方程 解法（五）： 分析：建立直线的参数方程 设，由 而在圆上，所以 若将代入，得到 说明： （1）、解（五）实际上是极坐标的思想（现行教材不作要求），最后的变形消参是难点 参数方程某些时候能带给我们很大的方便，但是通常比较难想到，这里题中长度之积等于常数，给了我们一点提示。 参数法通常比较多得出现于有关圆或者椭圆的题中，参数方程分别为和,这里设了一下直线的参数方程，也达到了异曲同工的效果。 解法（六）： 分析：对点的几何特征进行讨论，利用平面几何知识添加辅助线，列出等式 解：若在外，如图（三），过作圆的切线，切点为，设由于 ，于是 ，化简得 若在上，如图（四），过作圆的直径交圆于 ，代入 ，所以同样得到 说明： （1）、有时会利用动点的几何意义来建立轨迹方程，非常直观。 当动点具有明显的几何特征时，考虑一下几何法来探求它的轨迹，这时需要用到平面几何的定理，需要学生有清晰的几何知识，要求相对比较高。 后记： 练习卷上的一道题目，许多同学都遇到了拦路虎，困难很大，于是就想到了把这题的思路理一下，总结一下它的解法。求轨迹的题目还是有通性的，因为它的目的地是唯一的，只是根据走的途径不同，会碰到不同的阻碍，也就是所谓的“殊途同归”。所以，坚持就是胜利。 浙江省萧山中学113# 311200