幂函数、二次函数讲义.doc

知识点提要幂函数 幂的有关概念 正整数指数幂： 零指数幂： 负整数指数幂： 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： 负分数指数幂的意义是： 幂函数的定义 一般地，函数叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数的情况)． 幂函数的图象 幂函数 当时的图象见左图；当时的图象见右图： 由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质： 有下列性质： (1)时： 图象都通过点，； 在第一象限内，函数值随的增大而增大，即在上是增函数． (2)时： 图象都通过点； 在第一象限内，函数值随的增大而减小，即在上是减函数； 在第一象限内，图象向上与轴无限地接近，向右与轴无限地接近． (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 【说明】由幂函数的概念和定义域决定了，我们研究幂函数一般只研究其在第一象限内的部分，更精确地说是研究幂函数的时候只讨论x≥0或者x＞0的时候． 幂函数的奇偶性 函数的定义域为,定义域关于原点对称,且 所以当为奇数时函数是奇函数,为偶数时函数是偶函数． 【说明】高中范围内一般不研究非整数指数的幂函数的奇偶性． 二次函数 1．二次函数：当0时，或称为关于的二次函数，其对称轴为直线，另外配方可得，其中，下同． 2．二次函数的性质：当时，的图象开口向上，在区间上随自变量增大函数值减小（简称递减），在上随自变量增大函数值增大（简称递增）．当时，情况相反． 3．当时，方程即…．和不等式…及…与函数的关系如下（记）． 1）当时，方程有两个不等实根，设，不等式和不等式的解集分别是和，二次函数图象与轴有两个不同的交点，还可写成． 2）当时，方程有两个相等的实根,不等式和不等式的解集分别是和空集，的图象与轴有唯一公共点． 3）当时，方程无解，不等式和不等式的解集分别是和．图象与轴无公共点． 当时，请读者自己分析． 4．二次函数的最值：若当时，取最小值,若，则当时，取最大值．对于给定区间上的二次函数，当时，在上的最小值为; 当时,在上的最小值为；当时，在上的最小值为（以上结论由二次函数图象即可得出）． 幂函数的定义与图像 （陕西2011文4） 函数的图像是 （ ） 【答案】B 【分析】已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断． 【解析】 取，，则，，选项B，D符合；取，则，选项B符合题意． (安徽2011理) 函数在区间上的图像如图所示，则的值可能是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】代入验证，当，，则 ，由可知，，结 合图像可知函数应在递增，在递减，即在取得最大值，由 ，知存在．故选B． 幂函数的性质与应用 （上海2011文）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（ ） A． B． C． D． 【解析】、都是奇函数，故B、D错误，又虽为偶函数，但在上为增函数，故错误，在上为减函数，且为偶函数，故A满足题意． 已知，试比较的大小． 【答案】 本题考查的是幂函数的单调性知识，这里三个表达式的底数和幂都分别不同，所以需要转化看待，将它们化成同类幂函数进行比较． 为比较与的大小，将它们看成指数相同的两个幂，由于幂函数在区间上是增函数，因此只须比较底数a与的大小，由于指数函数 ()为减函数，且，所以，从而．比较与的大小，也可以将它们看成底数相同(都是aα)的两个幂，于是可以利用指数函数 是减函数，由于，得到． 由于，函数 ()是减函数，因此． 综上， 【点评】解答本题的关键都在于适当地选取一个函数，函数选得恰当，问题可以顺利地获得解决． （山东2011理10）已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时,,则函数的图象在区间上与轴的交点的个数为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解析】因为当时, ,又因为是上最小正周期为2的周期函数，且,所以,又因为,所以,,故函数的图象在区间上与轴的交点的个数为6个,选A． （天津2010文）设函数．对任意，恒成立，则实数的取值范围是　　　　． 【答案】． 【解析】解法1．显然，由于函数对是增函数， 则当时，不恒成立，因此． 当时，函数在 是减函数， 因此当时，取得最大值， 于是恒成立等价于的最大值， 即，解得．于是实数的取值范围是． 解法2．然，由于函数对是增函数，则当时，不成立，因此． ， 因为，，则，设函数，则当时为增函数，于是时，取得最小值． 解得．于是实数的取值范围是． 解法3．因为对任意，恒成立，所以对，不等式也成立，于是，即，解得．于是实数的取值范围是． 已知函数对任意实