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大一高等数学第八章第五节方向导数与梯度
一、方向导数 二、梯度 三、小结 等高线的画法 函数的增量 与PP`两点间的距离 之比值，当P`沿着L趋于P时，如果此比的极限存在，则称这极限为函数 在点P沿方向L的方向导数。 记为 讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题． （如图） 当 沿着 趋于 时， 是否存在？ 记为 证明 由于函数可微，则增量可表示为 两边同除以 得到 故有方向导数 解 解 由方向导数的计算公式知 故 推广可得三元函数方向导数的定义 解 令 故 方向余弦为 故 结论 在几何上 表示一个曲面 曲面被平面 所截得 所得曲线在xoy面上投影如图 等高线 梯度为等高线上的法向量 等高线的画法 播放 例如, 梯度与等高线的关系： 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值. 梯度的概念可以推广到三元函数 解 由梯度计算公式得 故 1、方向导数的概念 2、梯度的概念 3、方向导数与梯度的关系 （注意方向导数与一般所说偏导数的区别） （注意梯度是一个向量） 思考题 思考题解答 练 习 题 练习题答案 函数的增量 与PP`两点间的距离 之比值，当P`沿着L趋于P时，如果此比的极限存在，则称这极限为函数 在点P沿方向L的方向导数。 记为 * *
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