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数列专题复习 一、等差数列的有关概念： 1、等差数列的判断方法：定义法或。 例1：已知是等差数列，公差不为零．若，，成等比数列，且，则 ， ． 2.设是等差数列，求证：以bn= 为通项公式的数列为等差数列。 2、等差数列的通项：或。 例1等差数列中，，，则通项　　　　 例2：首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ 3、等差数列的前和：，。 例1：数列 中，，，前n项和，则＝ ＿，＝＿ 例2：已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ ） （A） （B） （C） （D） 例3：设是数列的前n项和，且，，则 4、等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。 提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；偶数个数成等差，可设为…，,…（公差为2） 5、等差数列的性质： （1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0. （2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。 （3）当时,则有，特别地，当时，则有. 例1：等差数列中，，则＝____ 2．在等差数列中，若，则= . 3.已知数列中，，（），则数列的前9项和等于 n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。 （5）在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，，（这里即）；。 （6）若等差数列、的前和分别为、，且，则. 如设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么___________ (7)“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？ 如（1）等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。 （2）若是等差数列，首项，，则使前n项和成立的最大正整数n是 （3）在等差数列中，，且，是其前项和，则（ ） A、都小于0，都大于0　　 B、都小于0，都大于0　　 C、都小于0，都大于0　　 D、都小于0，都大于0　（答：B） (8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究. 二、等比数列的有关概念： 1、等比数列的判断方法：定义法，其中或。 如（1）一个等比数列{}共有项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则为____ （2）数列中，=4+1 ()且=1，若 ，求证：数列｛｝是等比数列。 2、等比数列的通项：或。 如1等比数列中，，，前项和＝126，求和. 2.是公差为3的等差数列,数列满足,. （I）求的通项公式； （II）求的前n项和. 3.已知各项都为正数的数列满足，. （I）求； （II）求的通项公式. 3、等比数列的前和：当时，；当时，。 如（1）等比数列中，＝2，S99=77，求 2.设数列的前项和为，．已知，，，且当时，． （1）求的值； （2）证明：为等比数列； （3）求数列的通项公式． 4、等比中项：若成等比数列，那么A叫做与的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。如已知两个正数的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______ 5.等比数列的性质： （1）当时，则有，特别地，当时，则有. 如1在等比数列中，，公比q是整数，则=___ 2各项均为正数的等比数列中，若，则 已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于 . (2) 若是等比数列，则、、成等比数列；若成等比数列，则、成等比数列； 若是等比数列，且公比，则数列 ，…也是等比数列。当，且为偶数时，数列 ，…是常数数列0，它不是等比数列. 如（1）已知且，设数列满足，且，则　　　　　. （2）在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为______ (3)若，则为递增数列；若, 则为递减数列；若 ，则为递减数列；若, 则为递增数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列. (4) 当时，，这里，但