《数学分析》课程电子课件（一）.pdfVIP

《数学分析》课程电子课件 教师：杨勤民 Tel: Email: qmyang@ecust.edu.cn 华东理工大学《数学分析》电子课件(§3.1) 1 / 35 第三章 极限续论 • 关于实数的基本定理 • 闭区间上连续函数性质的 证明 华东理工大学《数学分析》电子课件(§3.1) 2 / 35 §3.1 关于实数的基本定理 一、子列 二、上确界和下确界 三、确界存在定理 四、单调有界原理 五、闭区间套定理 六、聚点原理 七、致密性定理 八、柯西收敛原理 九、有限覆盖定理 华东理工大学《数学分析》电子课件(§3.1) 3 / 35 一、子列 原数列 {x }: x , x , x , , x ,  n 1 2 3 n 子列 {xn }: xn , xn , xn , , xn ,  k 1 2 3 k 其中k为子列的下标，n n , , 且严格递增. 1 2 例如 原数列 {2n}: 2, 4, 6, 8,10,12,  子列1: {4n}: 4, 8,12,16, 20, n 子列2 : {2 }: 2, 4, 8,16, 32,64, 定理1 lim xn a {xn }的任何子列都收敛于a . n 推论 若对任何{x }: x x ,x x , 都有{f (x )}收敛, n n 0 n 0 n 则lim f (x )存在. x x 0 华东理工大学《数学分析》电子课件(§3.1) 4 / 35 一、子列 定理2 每个数列都有单调子列. 分析 x3 x1 x2 x4 xn 设{xn }是任意一个数列, 构造它的子列 I 和II 如下： 任取xn {xn }作为子列I的第1项, 将子列II 暂时取为. 1 (1)若n n 使x x , 把子列I的第k 1项取为x (k 1,2, ) k 1 k n n n k 1 k k 1 (2)若(1)的过程被中断， n n n n x x 即对某个 k 找不到上述的 k 1, 则 k 有 n n .