数值模拟：第三讲 梁单元.ppt

3 梁 单 元目 标：掌握用梁单元进行结构有限元分析的原理。 3.1 简单梁单元___直梁 3.1.1、节点位移与节点载荷 显然，结构总刚度矩阵也可以由各单元刚度矩阵扩大到整体规模后叠加而成，方法同前面的弹簧单元和杆单元。 由于单元刚度矩阵在扩大和叠加过程中，其具有的性质（对称、奇异、主对角元恒正）不变，因此结构总刚度矩阵仍然保持这些性质。 总刚度矩阵中有大量元素为0，因此矩阵具有稀疏性。 非零元素沿主对角线呈带状分布（节点编号满足一定条件？）。 总之，从前面弹簧、直杆和这里梁结构有限元总刚度矩阵的特点可以初步归纳出结构有限元总刚度矩阵的性质如下： 1）对称性； 2）奇异性； 3）稀疏性； 4）非零元素带状分布 平衡方程左边总刚度矩阵与位移列阵之积等于结构中各节点的总节点力；因此，总刚每行各子块表征相应节点位移对该行对应总节点力的贡献。 平衡方程右端是各节点外载荷。因此，有限元平衡方程代表了系统各节点所受外载荷与所受单元反作用总力之间的平衡。 对于特定结构，方程中必存在已知位移和相应的未知载荷（支反力），因此，平衡方程求解前必须进行约束处理，分离出关于未知位移的方程进行求解。然后再用求出的位移，通过剩余方程求出支反力。 3.2 平面内一般梁单元 3.2.2、局部坐标系下平面梁单元 单元有2个节点：i，j 局部坐标系下节点位移分量： 轴向位移： 横向挠度： 转角： 局部坐标系下节点力分量： 轴向力： 横向剪力： 弯矩： 单元有6个位移分量 6个自由度 单元节点位移列阵： 单元节点力列阵： * 对图(a)直梁，根据结构和载荷情况，分为3段，每段为一个单元。单元之间和端点是节点。3个单元4个节点。 梁上任一节点处有2个位移分量：挠度 及转角 。 任一个节点 i 的位移用列阵表示为： 称为节点i的节点位移。 对应节点位移分量，梁上任一节点i的载荷也有2项：横向力 和弯矩 ，称为广义力。 称为节点i的节点载荷。 梁上若有分布载荷，可近似地等效到节点上。 任一个节点 i 的载荷用列阵表示为： 3.1.2、简单梁单元的单元特性 单元有2个节点，节点局部编号：i，j 。每节点有2个位移分量，单元共有4个位移分量——4个自由度； 单元节点位移分量： 分析一个从上述梁结构中取出的典型梁单元 e。单元长度l，弹性模量E，截面惯性矩为J。 称为单元e的单元节点位移列阵（向量）。 （1）单元的描述 结构中的一个单元一般在节点处的截面上要受到结构其它部分对该梁单元的作用力，称为单元节点力。每节点2个节点力分量：剪力q，弯矩m（分别与节点的2个位移分量对应）。 单元节点力分量： 称为单元e的单元节点力列阵（向量）。 注意： 如图所示，节点位移和节点力分量的正方向与局部坐标轴正方向一致。因此，节点力正方向与材料力学中内力正方向的定义不同！ 节点力是梁中的内力；节点载荷是梁结构在节点上受到的外力。 （参见P5的11~15行） （2）单元特性研究 结构中的一个梁单元的变形是由节点位移决定的，对于一个受力平衡的单元，一定的节点位移总是与一定节点力相联系，这个关系就是单元的弹性特性（刚度特性）。 下面根据材料力学结果和单元刚度矩阵性质建立梁单元的特性 根据前面的分析，在弹性、小变形前提下，显然，单元保持平衡时节点力和节点位移之间有线性关系，用矩阵形式表示为： 简记为： 梁单元的刚度方程 上式中 称为单元刚度矩阵，其中每个元素都是常数。 方便起见，节点力和节点位移分量用新的符号表示，刚度方程为： 为了分析单元刚度矩阵元素的物理意义，上式中令： （这里1，2，3，4是单元自由度序号） 可见，某列刚度系数就是相应节点位移分量为1，其他位移分量皆为0时的所有节点力分量——单元刚度矩阵元素的物理意义 由刚度方程可得： 现根据刚度矩阵的物理意义确定刚度系数： 设 则梁单元变形如右图： 按材料力学梁变形公式求节点力如下： 挠度： 转角： 联立解出： 再由梁单元的静力平衡条件得： 至此已求出刚度矩阵的第一列元素。 再设： 则梁单元变形如右图： 由刚度方程可得： 同理，由梁的变形公式和平衡条件可求得刚度矩阵的第二列元素： 同样的方法可以解出其余2列元素，从而求出单元刚度矩阵： 显然，与弹簧和杆单元一样，该梁单元的刚度矩阵具有如下性质： 1）对称性；